7.1 引言

在实际问题的分析中，某些数学思想和技术出现在许多不同的情境中。其中一个思想就是数列的概念。数列出现在管理活动中，例如确定硬件维护方案或大宗产品的生产计划。它们也出现在投资计划和财务控制中。数列是计算活动所固有的，因为计算机最重要的特性就是能够快速而准确地执行指令序列。数列在现代设计和新产品开发所必需的数值方法中具有极其重要的意义。除了说明这些基本应用之外，我们还将展示这些简单的思想如何引出极限的概念，而极限是正确理解微积分和数值方法的先决条件。没有这种理解，就不可能为实际问题建立数学模型、求解问题或充分解释其解。同时，我们将说明前面所述的标准函数（见第2章）的一些初等性质以及它们之间的联系，并展望它们在更高级的工程应用中的进一步应用，特别是关于 $Z$ 变换的内容，见配套教材 Advanced Modern Engineering Mathematics。

7.2 数列与级数

7.2.1 记号

考虑一个函数 $f$ 其定义域为整数集（非负整数） ${0, 1, 2, 3, \dots}$ 。该函数的值的集合 ${f(0), f(1), f(2), f(3), \dots}$ 称为一个数列。通常我们用下标表示这些值，即 $f(0) = f_0, f(1) = f_1, f(2) = f_2$ 等等。我们常常按顺序列出一个数列的元素，并假定列表中的第一个是 $f_0$ ，第二个是 $f_1$ 等等。例如，我们可以写成

‘考虑数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...’

这意味着 $f_0 = 1, f_5 = 8, f_8 = 34$ 等等。在这个例子中，续接点 ... 用来表示该序列没有结束。这样的序列称为无限序列，以区别于有限序列或有穷序列。有限序列 ${f_0, f_1, \dots, f_n}$ 通常记作 ${f_k}{k=0}^n$ ，而无限序列记作 ${f_k}{k=0}^\infty$ 。当上下文使含义清楚时，记号可进一步简写为 ${f_k}$ 。这里字母 $k$ 被用作“计数”变量。它是一个哑变量，意思是我们可以用任何其他字母替换它而不改变结果。通常用 $n$ 和 $r$ 作为哑变量。

例 7.1 某银行按每年 8.5% 的固定利率支付利息，按年复利计算。一位客户每年年初向账户存入固定金额 1000 英镑。问在头四年中每年年初账户里有多少钱？