代入后得到

$$\begin{aligned}\int_{-2}^2 \frac{\sqrt{x+2}}{x+6} dx &= \int_0^2 \frac{u}{u^2+4} 2u du = \int_0^2 \frac{2u^2}{u^2+4} du = \int_0^2 2 - \frac{8}{u^2+4} du \ &= \left[ 2u - 4 \tan^{-1} \frac{u}{2} \right]_0^2 = 4 - \pi\end{aligned}$$

对于例 8.59，MATLAB 命令

syms x y
y = 1/(2 + sqrt(1 - x)); int(y); pretty(ans)

返回的积分为

$$\begin{aligned}& 21 \log(-x - 3) - 2(1 - x)^{1/2} - 21 \log(-2 + (1 - x)^{1/2}) \ & + 21 \log(2 + (1 - x)^{1/2})\end{aligned}$$

需要进行一些代数运算才能得到解答中给出的形式。整理 $\log$ 项得到

$$-2(1 - x)^{1/2} + 21 \log \frac{(-x - 3)[2 + (1 - x)^{1/2}]}{[-2 + (1 - x)^{1/2}]}$$

将 $\log$ 项的“分子和分母”同时乘以 $(2 + (1 - x)^{1/2})$ 然后约去 $(-x - 3)$ 项，即得到解答中给出的形式。

8.8.13 涉及积分的 $\sqrt{(ax^2 + bx + c)}$

我们在许多例子中已经看到，线性复合规则与标准积分相结合使我们能够计算许多积分，包括含有类似以下项的积分 $\sqrt{(ax^2 + bx + c)}$ 。在本节中我们将处理几个该类型的积分。

例 8.63

求下列函数的不定积分

解答 (a) 首先我们对平方根内的项进行配方

$$\int \sqrt{(x^2 + 6x - 7)} dx = \int \sqrt{[(x + 3)^2 - 16]} dx$$