设 $x - 1 = \frac{2}{\sqrt{3}} \sinh u$ ，使得 $\frac{dx}{du} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cosh u$ ，积分变为 $\frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cosh u}{\sqrt{(\frac{4}{3} \cosh^2 u)}} du$ 因为 $\sinh^2 u + 1 = \cosh^2 u$ 。因此

$$\int \frac{dx}{\sqrt{(3x^2 - 6x + 7)}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \int 1 du = \frac{1}{\sqrt{3}} u + c, \text{ where } \sinh u = \frac{\sqrt{3(x-1)}}{2}$$

于是

$$\int \frac{dx}{\sqrt{(3x^2 - 6x + 7)}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \sinh^{-1} \left[ \frac{\sqrt{3(x-1)}}{2} \right] + \text{constant}$$

(d) 这里我们注意到

$$\frac{d}{dx} [\sqrt{(x^2 + 4x + 9)}] = \frac{\frac{1}{2}(2x + 4)}{\sqrt{(x^2 + 4x + 9)}}$$

所以我们先把被积函数改写为 $\frac{2x + 4 - 1}{\sqrt{(x^2 + 4x + 9)}}$ 并把积分改写为

$$2 \int \frac{\frac{1}{2}(2x + 4)}{\sqrt{(x^2 + 4x + 9)}} dx - \int \frac{dx}{\sqrt{(x^2 + 4x + 9)}}$$

第一项可以立即求出为 $2\sqrt{(x^2 + 4x + 9)}$ 。

第二项可改写为 $\int \frac{dx}{\sqrt{[(x + 2)^2 + 5]}}$ 。

利用代换 $x + 2 = \sqrt{5} \sinh u$ ，读者可以证明该积分的值为 $\sinh^{-1}(\frac{x+2}{\sqrt{5}})$ 。因此

$$\int \frac{2x + 3}{\sqrt{(x^2 + 4x + 9)}} dx = 2\sqrt{(x^2 + 4x + 9)} - \sinh^{-1} \left( \frac{x + 2}{\sqrt{5}} \right) + \text{constant}$$

(e) 此处 $x^2 + 4x - 3 = (x + 2)^2 - 7$ ，所以我们选择代换 $x + 2 = \sqrt{7} \cosh u$ 。因此

$$\begin{aligned} \int x\sqrt{(x^2 + 4x - 3)} dx &= \int (\sqrt{7} \cosh u - 2) 7 \sinh^2 u du \ &= 7\sqrt{7} \int \cosh u \sinh^2 u du - 14 \int \sinh^2 u du \ &= \frac{7\sqrt{7}}{3} \sinh^3 u - 14 \int \frac{\cosh 2u - 1}{2} du \ &= \frac{7\sqrt{7}}{3} \sinh^3 u - \frac{7}{2} \sinh 2u + 7u + \text{constant} \end{aligned}$$