35 证明：如果向量 $\mathbf{a}(t) = f(t)\mathbf{i} + g(t)\mathbf{j}$ 具有恒定的模长，则 $\mathbf{a}$ 与 $\frac{d\mathbf{a}}{dt}$ 互相垂直。

从曲线上固定点 P0 起量，使得 s 随 t 的增大而增大，那么

$$\left| \frac{d\mathbf{r}}{dt} \right| = \frac{ds}{dt}$$

由此推出 d d r ^s 是曲线

在 r(t) 处的一个单位切向量，并且（利用 9.6.4 节习题第 38 题的结果），d d r s 与 d d ² 2 r ^s 互相垂直。

证明

$$\left| \frac{d^2 \mathbf{r}}{ds^2} \right| = |\kappa|$$

其中 $\kappa$ 是曲线在该点处的曲率。

9.6 多元函数

在许多应用中，我们会用到多个自变量的函数：例如，流体在某一点的速度取决于其空间坐标，加热炉中的温度取决于其位置，等等。微积分的基本思想既适用于一元函数，也适用于多元函数。当然，由于涉及的变量更多，记号和技术细节更为复杂，但基本思想是相同的。在本章的剩余部分，我们将探讨把微分的过程和思想推广到多元独立变量的函数上。正如我们将在下文看到的，函数对其变量的变化率可以用函数分别对每个自变量的变化率来表示。

9.6.1 二元函数的表示

对于两个自变量的函数，我们可以将一元函数的概念加以推广。我们使用三个坐标轴，通常取 $x$ 和 $y$ 作为自变量， $z = f(x, y)$ 作为因变量。函数不再由二维中的一条曲线表示，而是由三维中的一个曲面表示，如图 9.12(a) 所示的函数 $f(x, y) = 3x - x^3 - y^2$ 。通常，通过绘制函数的等值线（或等高线），即由 $f(x, y) = c$ 对不同常数值 $c$ 所定义的曲线，如图 9.12(b) 所示的同一函数，更容易理解函数的行为。这类图形可以方便地用 MATLAB 或 MAPLE 绘制。

图 9.11