1.1 引言

数学在我们的生活中扮演着重要角色。它被用于从购买食品到安排飞机维护计划等日常活动中。通过在不同文化和历史背景下发展起来的各种应用，数学一直是塑造现代世界的决定性因素之一。它不断发展并找到新的用途，尤其是在工程与技术领域，从电子电路设计到机器学习。

数学提供了一种强大、简洁且无歧义的方式来组织和交流信息。它是解释和预测物理宇宙各个方面的一种手段。它是一种以知识体系为支撑的解决问题的活动。数学由事实、概念、技能和思维过程组成——这些方面彼此紧密相关。它是一门层次分明的学科，因为新的思想和技能是在已有思想和技能的基础上发展起来的。这有时使它成为一门对学习者来说较为困难的学科，因为学习者在数学发展的每个阶段都需要能够随时回忆起先前学过的内容。

在前两章中，我们将总结大多数学生已经理解的概念和技术，并将它们扩展到数学的进一步发展中。学生已经在四个关键领域具备了相当多的知识。

• 数
• 代数
• 几何
• 函数

这些领域对于在工程数学中取得进步至关重要（事实上，它们将解决工程中的许多重要问题）。在这里，我们的目标是巩固这些知识，使其更加精确并加以发展。在第一章中，我们将讨论前三个主题；函数将在下一章讨论（见第 2 章）。

1.2 数与算术

1.2.1 数轴

数学已从原始的算术和几何发展成一个庞大的知识体系。最古老的数学技能是计数，最初使用自然数，后来使用整数。术语自然数通常指集合 $\mathbb{N} = {1, 2, 3, \dots}$ ，而术语整数指集合 $\mathbb{Z} = {0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, \dots}$ 。整数可以表示为一条称为数轴的直线上等距分布的点，如图 1.1 所示。在计算机中，整数可以被精确地存储。数轴上所有点（不仅仅是表示整数的那些点）的集合表示实数（如此命名是为了将它们与复数区分开来，复数是

数轴。