49 求 x 的误差界和相对误差界，其中

(a) $$x = 35 \text{ min} \pm 5 \text{ s}$$

(b) $$x = 35 \text{ min} \pm 4%$$

(c) $$x = 0.58$$ 且 $x$ 被正确舍入到 2 位小数。

50 某值经计算为 12.9576，相对误差界为 0.0003。求其绝对误差界，并将该值表示为保留尽可能多有效数字的正确舍入数。

51 使用精确算术，计算下面各表达式的值。假设给出的所有数都是正确舍入的，求表达式中每一项以及你的答案的绝对误差界和相对误差界。将答案表示为正确舍入的数。

(a) $$1.316 - 5.713 + 8.010$$

(b) $$2.51 \times 1.01$$

(c) $$19.61 + 21.53 - 18.67$$

52 计算 $12.42 \times 5.675/15.63$ ，将答案表示为保留最多有效数字位数的正确舍入数。

53 计算

a + b、a − b、a × b、a/b

其中 $a = 4.99$ 且 $b = 5.01$ 。给出每个答案的绝对误差界和相对误差界。

54 完成下表以进行计算

9.21 + (3.251 − 3.115)/0.112

并将结果表示为保留最多有效数字位数的正确舍入答案。

55 计算 $uv/(u + v)$ 对于 $u = 1.135$ 和 $v = 2.332$ ，将你的答案表示为一个正确舍入的数。

56 以 4 位小数计算

$$E = 1 - 1.65 + \frac{1}{2}(1.65)^2 - \frac{1}{6}(1.65)^3 + \frac{1}{24}(1.65)^4$$

• (a) 通过逐项计算再求和，
• (b) 通过“嵌套乘法”

$$E = 1 + 1.65(-1 + 1.65(\frac{1}{2} + 1.65(-\frac{1}{6} + \frac{1}{24}(1.65))))$$

假设数字 1.65 是正确舍入的，且所有其他数字都是精确的，求两个答案的误差界。

1.5.4 计算机算术

例 1.44 中概述的误差估计是一种“最坏情况”分析。实际误差通常远小于误差界。例如，100 个数之和的最大误差，其中每个数都舍入到三位小数，为 0.05。这只有在每个值都具有最大可能舍入误差这种不太可能发生的情况下才会出现。相比之下，误差达到其十分之一大小的概率仅约为二十分之一。

当在计算机上进行计算时，情况会因数字存储的有限空间而略有改变。算术运算通常使用浮点记数法进行。每个数 x 以标准形式存储

$$x = (\text{sign})b^n(a)$$

其中 $b$ 是数的基数，通常为 2 或 16， $n$ 是一个整数，而尾数 $a$ 是一个具有固定数字位数的真分数，使得 $1/b \leq a < 1$ 。由于可用于表示尾数的位数有限，计算将涉及中间舍入。因此，执行计算的顺序