1.6 工程应用

在本节中，我们通过两个例子说明本章中得到的一些结果如何用于工程应用。

例 1.48 一条长度为 $L$ 米的连续皮带绕过两个半径分别为 $r$ 和 $R$ 米、中心相距 $l$ 米的轮子，如图 1.32 所示。皮带足够紧，任何下垂都可忽略不计。证明 $L$ 近似地由下式给出：

$$L \approx 2[l^2 - (R - r)^2]^{1/2} + \pi(R + r)$$

求该近似所固有的误差，并给出 $L$ 的误差界，已知舍入数据为 $R = 1.5$ , $r = 0.5$ 和 $l = 3.5$ .

图 1.32
例 1.48 的
连续皮带。

解 皮带的长度由直线段 AB 和 CD 以及绕在轮子上的弧段组成 $\widehat{BC}$ 和 $\widehat{DA}$ 。从图 1.32 可以清楚地看出 $BT = OP = l$ 和 $\angle OAB$ 是一个直角。另外， $AT = AO - OT$ 和 $OT = PB$ 因此 $AT = R - r$ 。对三角形 TAB 应用勾股定理可得

$$AB^2 = l^2 - (R - - r)^2$$

由于圆弧的长度等于其半径与在圆心处所张成的角（以弧度为单位测量，见 (2.17)）的乘积，包角长度 $\widehat{DA}$ 由下式给出

$$(2\pi - 2\theta)R$$

其中角度以弧度为单位测量。根据几何关系， $\theta = \frac{\pi}{2} - \alpha$ , 因此

$$\widehat{DA} = \pi R + 2R\alpha$$

类似地，弧 $\widehat{BC} = \pi r - 2r\alpha$ 。因此皮带的总长度为

$$L = 2[L^2 - (R - r)^2]^{1/2} + \pi(R + r) + 2(R - r)\alpha$$

取长度近似为

$$L \approx 2[l^2 - (R - r)^2]^{1/2} + \pi(R + r)$$

近似的误差由下式给出 $-2(R - r)\alpha$ ，其中角 $\alpha$ 以弧度表示（记住误差 = 近似值 - 真实值）。角 $\alpha$ 可通过初等三角学求得，因为 $\sin \alpha = (R - r)/l$ 。（三角函数将在后面的 2.6 节中复习。）