对于所给的（舍入后的）数据，我们按照先前的步骤（见第 1.5.2 节）推导出，对于 $R = 1.5$ , $r = 0.5$ 以及 $l = 3.5$ 我们得到关于 $\alpha$ 的误差区间为

$$\left[ \sin^{-1}\left(\frac{1.45 - 0.55}{3.55}\right), \sin^{-1}\left(\frac{1.55 - 0.45}{3.45}\right) \right] = [0.256, 0.325]$$

因此 $\alpha = 0.29 \pm 0.035$ ，类似地 $2(R - r)\alpha = 0.572 \pm 0.111$ 。

计算 $L$ 的近似值得

$$2[l^2 - (R - r)^2]^{1/2} + \pi(R + r) = 12.991 \pm 0.478$$

，而对应的 $L$ 的值为

$$L = 13.563 \pm 0.589$$

因此，同时考虑近似值的截断误差和数据的舍入误差，近似给出的值 12.991 的误差区间为 $[12.974, 14.152]$ 。其误差界为 $|12.991 - 14.152|$ 和 $|12.991 - 12.974|$ 中的较大者，即 1.16。其相对误差为 0.089，百分比误差为 8.9%，术语沿用前面给出的定义（见 1.5.2 节）。

例 1.49 一家有线电视公司要从岸上的中继站 A 向岛上的设施 B 铺设一条光缆，如图 1.33 所示。该岛距其最近岸点 P 为 6 km，A 沿岸到 P 的距离为 9 km。计划将光缆从 A 沿岸铺设，然后再水下铺设到岛上。水下铺设光缆的成本比沿岸铺设高 25%。光缆应在岸上哪一点离开岸边，才能使总成本最小？

图 1.33 例 1.49 的光缆。

解 优化问题在工程技术中经常出现，其解通常可通过代数方法求得。

优化问题在工程技术中经常出现，其解通常可通过代数方法求得。

如果光缆在 D 点离开岸边，D 距 P 为 $x$ km，则水下距离为 $\sqrt{(x^2 + 36)}$ km，陆上距离为 $(9 - x)$ km，假设 $0 < x < 9$ 。如果沿岸铺设光缆的成本为每千米 £c，则 $$C(x) = [(9 - x) + 1.25\sqrt{x^2 + 36}]c$$