2.1 引言

正如我们在第1章引言部分所指出的，数学为解决工程中出现的实际问题提供了一种手段。为此，它使用一些概念和技术，这些技术作用于这些概念并在概念内部运作。在本章中，我们将描述函数的概念——一个既是数学基础又符合直觉的概念。我们将通过形式化定义使这一直觉观念在数学上变得精确，并说明为什么这种形式化对于解决实际问题是必要的。

函数概念经历了许多个世纪才逐渐演变而成。这一概念的直觉基础源于对因果关系的分析，而因果关系正是科学、技术和商业发展的基石。与许多数学思想一样，许多人在日常活动中使用这一概念，却并未意识到自己在使用数学，如果有人告诉他们这一点，他们中的许多人会感到惊讶。数学家表达这一概念的成熟形式时所采用的抽象方式常常令学习者望而生畏，但其核心思想其实非常简单。这一概念长期发展的一个结果是，对它的描述往往带有对词语的习惯性用法。一些在日常用语中具有多种不同含义的普通词语，在数学中被赋予了非常特定的含义。

其核心思想是两个变量的取值之间存在关联。例如，所缴纳的税款取决于商品的销售价格；梁的挠度取决于所施加的载荷；物品的成本随产量的变化而变化；等等。历史上，这一思想曾以多种方式表达。最古老的方式是用文字描述计算所需值的方法。例如，在中世纪早期，人们用非常繁琐的文字方法来计算贷款的月度利息支付，而现在只需一个简洁的公式即可表达。十七世纪初，约翰·纳皮尔（John Napier）在创立对数函数时，用沿直线运动的两个质点来表达函数关系。一个质点以恒定速度运动，另一个质点的速度则取决于它到直线上某一固定点的距离。两个质点所经过的距离之间的关系被用来定义数的对数。如今这会通过微分方程的求解来描述。代数记号的引入使得函数可以用代数公式而非文字公式来表示。这带来了许多理论问题。例如，傅里叶（Fourier）使用了并非对所有自变量取值都适用同一代数公式的函数，从而引发了相当大的争议。类似地，不存在简单代数表示的函数的存在性，也给十九世纪初的数学家们带来了相当大的困难。

2.2 基本定义

2.2.1 函数的概念

贯穿所有这些发展的核心思想是两个取值相互关联的量。其中一个变量，即自变量或自由变量，