可以在一组取值中取任意值。它实际取的值唯一地确定了第二个量的值，即因变量或从变量。因此，自变量的每个取值对应因变量有且仅有一个值。该值的计算方式因函数而异：有时通过公式，有时通过图像，有时通过数值表。这里的“值”和“量”一词涵盖许多截然不同的情境，但在每种情形下，我们所拥有的都是两组值 X 和 Y，以及一条规则，该规则为集合 X 中的每个值 x 恰好指派集合 Y 中的一个值 y。X 和 Y 的元素不必是数，但核心思想是：集合 X 中的每个 x 都恰好对应集合 Y 中的一个 y。每当出现这种情况，我们就说存在一个函数 f，它把集合 X 映射到集合 Y。这样的函数可以用示意图表示，如图 2.1 所示。

我们用两种方式以符号表示函数关系：要么

$$f:x \rightarrow y \quad (x \text{ in } X)$$

要么

$$y = f(x) \quad (x \text{ in } X)$$

第一种强调这样一个事实：函数 $f$ 将 $x$ 中的每个元素（值） $X$ 与 $y$ 中恰好一个元素（值） $Y$ 相关联：即它“把 $x$ 映射到 $y$ ”。第二种记法强调 $Y$ 在……的元素上 $X$ 在函数……下 $f$ 。在这种情况下，出现在括号内的值或变量被称为函数的自变量（argument）；我们可以说‘自变量 $x$ 函数的 $f(x)$ ’。在工程中更常用第二种记号 $y = f(x)$ 并将其称为函数 $f(x)$ ，而现代数学教科书更倾向于使用映射记号，理由是它不那么容易产生歧义。集合 $X$ 被称为函数的定义域，集合 $Y$ 被称为其陪域。知道定义域和陪域在计算中很重要。我们需要知道变量的类型，它们是整数还是实数，以及它们的大小。当 $y = f(x)$ , $y$ 被称为……的像 $x$ 在 $f$ 下。所有像的集合 $y = f(x)$ , $x$ 在 $X$ 中，称为 $f$ 的像集或值域。并非陪域集合 $y$ 中的所有元素 $Y$ 都必须是 $f$ 下的像。在后面将要介绍的术语中（见第 6 章），值域是陪域的一个子集。我们可以把 $x$ 看作一个变量，它可以被集合 $X$ 中的任意元素所替换。给出 $f$ 如果我们知道，则就完全确定了 $f(x)$ ，因此在工程中通常将该函数称为 $f(x)$ 而不是 $f$ 。同样，我们可以将 $y = f(x)$ 视为一个变量。然而，虽然 $x$ 可以自由地取集合 $X$ 中的任意值，但变量 $y = f(x)$ 取决于为 $x$ 所选的特定元素。因此，我们将 $x$ 称为自由变量或自变量，并将 $y$ 作为因变量或从属变量。因此，函数 $f(x)$ 由有序对的集合完全确定 $(x, y)$ 对于所有的 $x$ 在 $X$ 中。对于实变量，可以通过绘制由该有序对集合确定的图像来得到函数的图形表示 $(x, y)$ ，其中自变量 $x$ 沿水平轴度量，因变量 $y$ 沿垂直轴度量。手工绘制一幅好的图像并不总是容易的，但现在计算机和计算器上已有出色的图形功能可以协助完成这项任务。即便如此，仍需要一些练习，以确保选择合适的“绘图窗口”来获得有意义的图像。

集合 X 集合 Y 法则

图 2.1 函数的示意图。