(a) $$f(x) = 2x - 3$$ ( $x$ 在 $\mathbb{R}$ )

$$(b) f(x) = \frac{2x - 3}{x + 4} \quad (x \text{ in } \mathbb{R}, x \neq -4)$$

(c) $$f(x) = x^2 + 1$$ ( $x$ 在 $\mathbb{R}$ )

如果 f(x) 没有反函数，请给出对 f(x) 定义域的一个适当限制，使得可以定义反函数。

11 证明

$$f(x) = \frac{2x - 3}{x + 4}$$

可以表示为如下形式

$$f(x) = g(h(l(x)))$$

其中

$$l(x) = x + 4$$

$$h(x) = 1/x$$

$$g(x) = 2 - 11x$$

用图形解释这个结果。

12 矩形梁的刚度与其高度的三次方成正比，并且与其宽度成正比。要从直径为 d 的圆木中切出一根矩形截面的梁。证明就刚度而言，梁的最优高度和宽度选择与使函数取最大值的 x 值有关

$$E(x) = x^3(d^2 - x), \quad 0 \leq x \leq d^2$$

13 如图 2.17 所示，一根梁用于支撑建筑物。该梁必须越过一堵距建筑物 2 m 的 3 m 高砖墙。证明梁的最小长度与使下式取最小值的 x 值有关

$$E(x+2)^2 \left(1 + \frac{9}{x^2}\right)$$

图 2.17 第 13 题的梁。

2.2.6 奇函数、偶函数和周期函数

工程背景中一些常见的函数具有奇性、偶性或周期性等特殊性质。这些性质最好通过函数的图像来理解。

偶函数是满足如下函数方程的函数

$$f(-x) = f(x)$$

因此，的值 $f(-2)$ 与……相同 $f(2)$ ，等等。这类函数的图像关于 y 轴对称，如图 2.18 所示。

相比之下，奇函数的图像关于原点反对称，如图 2.19 所示，并且满足方程

$$f(-x) = -f(x)$$

我们注意到 $f(0) = 0$ 或无定义。

像 $y = x^4 - x^2 - 1$ 这样的多项式函数，只包含 $x$ 的偶次幂，是偶函数的例子，而像 $y = x - x^5$ 这样的函数，只包含 $x$ 的奇次幂，是奇函数的例子。当然，并非所有函数都具有奇性或偶性。