设 $x^2(1 - x) = \frac{4}{27}$ 得到 $27x^3 - 27x^2 + 4 = 0$ 其可分解为

$$(3x - 2)^2(3x + 1) = 0$$

设 $x^2(1 - x) = \frac{4}{27}$ 得到 $27x^3 - 27x^2 + 4 = 0$ 其可分解为

$$(3x - 2)^2(3x + 1) = 0$$ 因此该方程在 $x = \frac{2}{3}$ 处有一个二重根，在 $x = -\frac{1}{3}$ 处有一个单根。因此 $E(x)$ 在 $x = \frac{2}{3}$ 以及对应的 $\theta$ 的最优值为 $2\pi\sqrt{(\frac{2}{3})}$ 。（稍后，在第 8.5 节中（另见复习题 8.13 中的第 5 题），我们将讨论确认此类结果的理论方法。）当我们把一个函数与其反函数复合时，通常得到恒等函数 $y = x$ 。因此由例 2.6，我们有

$$f(x) = \frac{1}{5}(4x - 3) \quad \text{and} \quad f^{-1}(x) = \frac{1}{4}(5x + 3)$$

以及

$$f(f^{-1}(x)) = \frac{1}{5}{4[\frac{1}{4}(5x + 3)] - 3} = x$$

以及

$$f^{-1}(f(x)) = \frac{1}{4} {5[\frac{1}{5}(4x - 3)] + 3} = x$$

$f^{-1}(f(x)) = \frac{1}{4} {5[\frac{1}{3}(4x - 3)] + 3} = x$

我们需要注意出现的例外情况，例如平方根函数，其反函数只有在对原函数的定义域加以限制之后才有定义。因此对于 $f(x) = x^2$ ( $x \geq 0$ ）和 $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}$ ( $x \geq 0$ ），我们得到

$f(f^{-1}(x)) = x$ ， 对于 $x \geq 0$ $$f(f^{-1}(x)) = x, \quad \text{for } x \geq 0 \text{ only}$$

和

$$f^{-1}(f(x)) = \begin{cases} x, & \text{for } x \geq 0 \ -x, & \text{for } x \leq 0 \end{cases}$$

2.2.5 练习

7 一个函数 $f(x)$ 定义为 $f(x) = \frac{1}{2}(10^x + 10^{-x})$ ，其中 $x$ 属于 $\mathbb{R}$ 。证明

(a) $$2(f(x))^2 = f(2x) + 1$$

(b) $$2f(x)f(y) = f(x + y) + f(x - y)$$

8 分别画出函数 $f$ 和 $g$ 的图像，其中

$$f(x) = (x + 1)^2 \text{ and } g(x) = x - 2$$

这些函数 $F$ 和 $G$ 由以下定义

$$F(x) = f(g(x))$$ 和 $G(x) = g(f(x))$

求 $F(x)$ 和 $G(x)$ 的公式，并画出它们的图像。图像 $F$ 和 $G$ 与 $f$ 和 $g$ 的图像之间有什么关系？

9 函数 $f$ 由……定义

$$f(x) = \begin{cases} 0 & (x < -1) \ x + 1 & (-1 \leq x < 0) \ 1 - x & (0 \leq x \leq 1) \ 0 & (x > 1) \end{cases}$$

在单独的图上画出……的图像 $f(x)$ , $f(x + \frac{1}{2})$ , $f(x + 1)$ , $f(x + 2)$ , $f(x - \frac{1}{2})$ , $f(x - 1)$ 和 $f(x - 2)$ .