情形 (a)：理论模型的形式为 y=ax

理论值 $ax_k$ 与实验值 $y_k$ 在 $x_k$ 处的差 $(ax_k - y_k)$ 为 $x = x_k$ 。这就是模型在 $a$ 处的“误差”。我们定义 $y = ax$ 的取值，使得 $S$ 最能代表数据，即使误差平方和

$$S = \sum_{k=1}^n (ax_k - y_k)^2$$

最小的那个值：

（因此得名“最小二乘拟合”：选择误差的平方是为了避免两个符号相反的大误差简单地相互抵消。）

上面的和式 S 在

$$a = \frac{\sum_{k=1}^n x_k y_k}{\sum_{k=1}^n x_k^2} \quad (2.7)$$

注意不要对 a 的计算值声称过高的精度。

例 2.16 求出 $a$ 的值，使其对模型 $y = ax$ 给出最小二乘拟合，数据如图 2.29 所示。

解 由 (2.7) 可得最小二乘拟合为

$$a = \left( \sum_{k=1}^6 x_k y_k \right) / \left( \sum_{k=1}^6 x_k^2 \right)$$

这里

$$\sum_{k=1}^6 x_k y_k = 250 + 800 + 1350 + 2200 + 3000 + 4500 = 12\ 100$$

以及

$$\sum_{k=1}^6 x_k^2 = 50^2 + 100^2 + 150^2 + 200^2 + 250^2 + 300^2 = 227,500$$

图 2.29 例 2.16 的数据。