函数在定义域内两个值 $x = x_0$ 和 $x = x_1$ 之间的变化率，定义为函数值的变化量与 $x$ 值的变化量之比。因此

$$\text{rate of change} = \frac{\text{change in values of } f(x)}{\text{change in values of } x} = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}$$

对于公式为 $f(x) = mx + c$ 的线性函数，我们有

$$\begin{aligned} \text{rate of change} &= \frac{(mx_1 + c) - (mx_0 + c)}{x_1 - x_0} \ &= \frac{m(x_1 - x_0)}{x_1 - x_0} = m \end{aligned}$$

它是一个常数。如果我们已知线性函数 $m$ 的变化率 $f(x)$ 以及某一点处的值 $f_0$ $x = x_0$ , 那么我们就可以写出 $f(x)$ 的公式为

$$f(x) = mx + f_0 - mx_0$$

对于线性函数，图像的斜率（梯度）就是函数的变化率。

例 2.15 生产某种产品的劳动力成本为每 10 000 件 £21，原材料成本为每 1000 件 £4。每次开始新的生产批次时，都有 £8 的启动成本。那么生产 $£C(x)$ 件产品的成本， $x$ 是多少？

解 这里成本函数的变化率由每件产品的劳动力成本（21/10000）和每件产品的原材料成本（4/1000）组成。因此变化率为 0.0061。我们还知道，如果生产批次为零件，仍然有 £8 的启动成本，所以 $f(0) = 8$ 。因此所求的函数为

$$C(x) = 0.0061x + 8$$

2.3.2 线性函数对实验数据的最小二乘拟合

由于线性函数出现在许多实际问题的数学模型中，我们经常需要将线性函数“拟合”到实验数据上。也就是说，我们需要求出 $m$ 和 $c$ 的值，使它们能对数据给出最佳的整体描述。这里会出现两种不同的数学模型，它们由具有如下公式的函数给出

(a) $$y = ax$$ 以及 (b) $y = mx + c$

例如，理想弹簧在负载下的伸长量可以用类型 (a) 的函数来表示，而垂直发射的抛射体的速度可以用类型 (b) 的函数来表示。

通过实验我们得到一组数据点 $(x_k, y_k)$ , $k = 1, 2, \dots, n$ 。我们希望求出最能描述这些数据所代表的现象的线性函数中常数的值。