因此 $c = 1.8 - 0.5(2) = 0.8$ 。

因此，拟合数据的最佳直线由下式给出 $y = 0.5x + 0.8$ .

重现答案的 MATLAB 命令如下（见第 2.4.4 节）。

情形 (b) 的公式是计算器和计算机软件包中最常用的公式（在那里它被称为线性回归）。将数据拟合到某个函数时，有理论依据是很重要的，否则很容易产生无意义的结果。例如，例 2.16 中的数据实际上与软弹簧在载荷作用下的伸长有关，因此将该数据拟合到 $y = mx + c$ 是不合适的。若 $c$ 的值非零，则意味着载荷为零时弹簧有伸长！使用计算机软件包时需要稍加小心。有些软件包使用形式 $y = ax + b$ ，而另一些则使用形式 $y = a + bx$ 作为基本公式。

2.3.3 习题

• 17 求线性函数 $f(x)$ 的公式，使得

• 18 计算下列线性函数的变化率

19 生产某产品的总人工成本为每生产 100 件 £43。原材料成本为每 1000 件 £25。每次生产有 £50 的启动成本。求生产一批 $x$ 件产品的成本公式。

制造商决定生产一批 2000 件产品。其成本是多少？如果每件产品售价为 £1.20，请写出当售出 $x$ 件产品时制造商利润的公式。盈亏平衡的销售件数是多少？

20 对图 2.31 中给出的数据求线性函数 $y = ax$ 的最小二乘拟合。

图 2.31 第 20 题的表格。

21 对图 2.32 中给出的实验数据求线性函数 $y = mx + c$ 的最小二乘拟合。

图 2.32 第 21 题的表格。

22 在直线 $y = x$ 的图像上，画出直线 $y = 0$ , $x = a$ 和 $x = b$ 。证明这四条直线所围成的面积为 $\frac{1}{2}(b^2 - a^2)$ （假设 $b > a$ ）。

由此推出，该面积等于 $y = x$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值乘以该区间的长度。

23 物体在重力作用下下落的速度为 $v(t) = gt$ 其中 $t$ 是从静止释放后所经过的时间，且 $g$ 是重力加速度。画出 $v(t)$ 的图像，以证明其在该时间段内的平均速度为 $\frac{1}{2}gt$ 并由此推出所经过的距离为 $\frac{1}{2}gt^2$ .