2.3.4 二次函数

一般二次函数具有如下形式

$$f(x) = ax^2 + bx + c$$

其中 $a$ , $b$ 和 $c$ 是常数，且 $a \neq 0$ 。通过‘配方法’，我们可以证明（见例 1.15）

$$f(x) = a \left[ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a^2} \right] \quad (2.10)$$

这意味着 $f(x)$ 的图像要么是一个‘杯’（ $a > 0$ ），要么是一个‘盖’（ $a < 0$ ），如图 2.33 所示，是一条抛物线。

我们可以看到，由于二次函数有三个常数，确定一个具体的二次函数需要三个数据点。二次函数 $f(x)$ 取如下数值时的公式 $f_0, f_1, f_2$ 在自变量的各取值处 $x_0, x_1, x_2$ ，可以写成拉格朗日形式： $x$ (2.11)

显然，这个公式的右边是一个二次函数。读者应花几分钟验证：代入数值

$$f(x) = \frac{(x - x_1)(x - x_2)}{(x_0 - x_1)(x_0 - x_2)} f_0 + \frac{(x - x_0)(x - x_2)}{(x_1 - x_0)(x_1 - x_2)} f_1 + \frac{(x - x_0)(x - x_1)}{(x_2 - x_0)(x_2 - x_1)} f_2$$

和 $x = x_0, x_1$ 得到 $x_2$ 和 $f(x_0) = f_0$ , $f(x_1) = f_1$ 。

例 2.18 求满足数据点 (1, 2)、(2, 4) 和 (3, 8) 的二次函数的表达式。

解 选取 $f(x_2) = f_2$ 和 $x_0 = 1$ , $x_1 = 2$ 使得 $x_2 = 3$ 。 $f_0 = 2$ , $f_1 = 4$ 和 $f_2 = 8$ 。然后利用拉格朗日公式 (2.10)，我们有

图 2.33
(a) $a > 0$ ; (b) $a < 0$ .