进行估计 $\beta$ 我们得到 0.062 的误差界。由于后一种误差估计几乎与根本身一样大，我们可能会倾向于认为这个答案毫无价值。但使用如下形式计算误差界

$$\beta = \frac{2c}{-b - \sqrt{(b^2 - 4ac)}}$$

得到 0.003 的估计值。因此我们可以写成

$$\alpha = -17.7 \pm 5%$$ 以及 $\beta = -0.085 \pm 4%$

对于 $\beta$ 的两个误差估计之所以存在差异，原因在于在公式的传统形式中我们是在对两个几乎相等的数做减法，因此误差界占据了主导地位。

例 2.29 方程 $3x^3 - x^2 - 3x + 1 = 0$ 有一个根为 $x = 1$ 。求另外两个根。

解 如果 $\alpha, \beta$ 和 $\gamma$ 是该方程的根，则

$$\alpha + \beta + \gamma = \frac{1}{3}$$

$$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = -\frac{3}{3}$$

$$\alpha\beta\gamma = -\frac{1}{3}$$

设置 $\alpha = 1$ 将这些简化为

$$\beta + \gamma = -\frac{2}{3}$$

$$\beta + \gamma + \beta\gamma = -1$$

$$\beta\gamma = -\frac{1}{3}$$

因此 $\gamma = -1/(3\beta)$ 和 $3\beta^2 + 2\beta - 1 = 0$ 。对该方程进行因式分解得到

$$(3\beta - 1)(\beta + 1) = 0$$

图 2.35
估计根的误差
界限。