一般地，对于多项式方程

$$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$$

根的乘积之和， $k$ 每次取 $(-1)^k a_{n-k} a_n$ 个，为 $\alpha, \beta$ 。

例 2.28 证明二次方程

$$ax^2 + bx + c = 0$$

的根

$$\frac{-b - \sqrt{(b^2 - 4ac)}}{2a} \quad \text{and} \quad \frac{2c}{-b - \sqrt{(b^2 - 4ac)}}$$

可以写成如下形式

$$1.0x^2 + 17.8x + 1.5 = 0$$

求方程 $\alpha$ 的根。

$$\alpha = \frac{-b - \sqrt{(b^2 - 4ac)}}{2a}$$

假设所给数字是正确舍入的，计算这些根的误差界。

解 利用二次方程的求根公式，我们可以选取一个根，比如，使得，那么由于 $\alpha\beta = c/a$ , 我们有

$$\beta = \frac{c}{a\alpha} = \frac{2c}{-b - \sqrt{(b^2 - 4ac)}}$$

现在考虑方程

$$1.0x^2 + 17.8x + 1.5 = 0$$

其系数是正确舍入的数。利用求根公式我们得到根

$$\alpha \approx -17.715 327 56$$

和

$$\beta \approx -0.08467244$$

利用 1.5.2 节的结果，我们可以估计这些答案的误差界，如图 2.35 所示。从该表可以看出，使用形式

$$\frac{-b - \sqrt{(b^2 - 4ac)}}{2a}$$

来估计 $\alpha$ 时误差界为 0.943，而使用

$$\frac{-b + \sqrt{(b^2 - 4ac)}}{2a}$$