通常与该力的频率相同。通常，响应也会滞后于激励力。在数学上，这常用如下形式的外力来表示 $F \sin \omega t$ 响应的形式为 $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是依赖于 $F$ , $\omega$ 以及系统物理特性的常数。为了求出响应的大小，我们需要将其写成如下形式 $A \sin(\omega t + \alpha)$ ，其中

$$A \sin(\omega t + \alpha) = a \sin \omega t + b \cos \omega t$$

我们总是可以做到这一点，如例 2.49 所示。

例 2.49 将 $y = 4 \sin 3t - 3 \cos 3t$ 表示为如下形式 $y = A \sin(3t + \alpha)$ .

解

解 为了确定合适的值 $A$ 以及 $\alpha$ ，我们按如下步骤进行。利用恒等式 (2.25a)，可得

$$\begin{aligned} A \sin(3t + \alpha) &= A(\sin 3t \cos \alpha + \cos 3t \sin \alpha) \ &= (A \cos \alpha) \sin 3t + (A \sin \alpha) \cos 3t \end{aligned}$$

由于该式必须对所有 $t$ 的值都等于表达式

4 sin 3t − 3 cos 3t

，因此两式中 $\sin 3t$ 的相应系数 $\cos 3t$ 和

$$4 = A \cos \alpha \tag{2.29}$$

必须相同，所以

$$-3 = A \sin \alpha \tag{2.30}$$

$-3 = A \sin \alpha$
以及 $\alpha$ 角
$A = \sqrt{16 + 9} = 5$
如图 2.71 所示。根据勾股定理，有

$$A = \sqrt{(16 + 9)} = 5$$

并且显然

$$\tan \alpha = -\frac{3}{4}$$

的值为 $\alpha$ 现在可以使用计算器求出。但必须注意为 $\alpha$ 选择正确的象限。由于 $A$ 取为正值，由图 2.71 可知 $\alpha$ 位于第四象限。因此，使用计算器可得 $\alpha = -0.64$ 弧度，且

$$y = 4 \sin 3t - 3 \cos 3t = 5 \sin(3t - 0.64)$$

图 2.71
角 $\alpha$ .