对于固定的 $V$ 一族轨迹，对应不同的投射角 $\alpha$ ，如图 2.70 所示。求点 $P$ （其坐标为 $(X, Y)$ ）位于抛射体射程之外的条件。

解答 已知坐标 $(X, Y)$ ，可能的发射角 $\alpha$ 由方程的根给出

$$Y = X \tan \alpha - \frac{1}{2} \frac{gX^2}{V^2 \cos^2 \alpha}$$

利用三角恒等式

$$1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$

得到

$$Y = X \tan \alpha - \frac{1}{2} \frac{gX^2}{V^2} (1 + \tan^2 \alpha)$$

写出 $T = \tan \alpha$ , 上式可改写为

$$(gX^2)T^2 - (2XV^2)T + (gX^2 + 2V^2Y) = 0$$

这是关于 T 的二次方程。由 (1.8) 可知，当满足以下条件时，该方程将有两个不同的实根

$$(2XV^2)^2 > 4(gX^2)(gX^2 + 2V^2Y)$$

而当满足以下条件时无实根

$$(2XV^2)^2 < 4(gX^2)(gX^2 + 2V^2Y)$$

因此，当满足以下条件时，点 P(X, Y) 是“安全”的

$$V^4 < g^2 X^2 + 2g V^2 Y$$

点 (X, Y) 位于曲线上的临界情形

$$V^4 = g^2 x^2 + 2gV^2y$$

给出了所谓的“安全抛物线”，安全区域为该抛物线上方的区域

$$y = \frac{V^2}{2g} - \frac{gx^2}{2V^2}$$

2.6.5 振幅与相位

在工程背景下，我们常常关注结构或机器部件的振动。这些振动是对周期性外力的响应，并且会

图 2.70 不同发射角度的轨迹。