2.6 圆函数 143

2.6.6 Exercises

尽可能使用 MATLAB 检验你的答案.

55 抄写并完成图中的表格 2.72.

Figure 2.72 换算表: 角度转换为弧度.

56 草图，用于 $-3\pi \leq x \leq 3\pi$ ……的图像

(a) $y = \sin 2x$ (b) $y = \sin \frac{1}{2}x$

(c) $y = \sin^2 x$ (d) $y = \sin x^2$

(e) $y = \frac{1}{\sin x}$ ( $x \neq n\pi$ , $n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$ )

(f) $y = \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ ( $x \neq 0$ )

57 求解下列方程中的 $0 \leq x \leq 2\pi$ :

(a) $3 \sin^2 x + 2 \sin x - 1 = 0$

(b) $4 \cos^2 x + 5 \cos x + 1 = 0$

(c) $2 \tan^2 x - \tan x - 1 = 0$

(d) $\sin 2x = \cos x$

58 通过参照等边三角形, 证明 $\cos \frac{1}{3}\pi = \frac{1}{2}\sqrt{3}$ and $\tan \frac{1}{6}\pi = \frac{1}{3}\sqrt{3}$ , 并求出……的值 $\sin \frac{1}{3}\pi$ , $\tan \frac{1}{3}\pi$ , $\cos \frac{1}{6}\pi$ and $\sin \frac{1}{6}\pi$ . Hence, 利用倍角公式, find $\sin \frac{1}{12}\pi$ , $\cos \frac{1}{12}\pi$ and $\tan \frac{1}{12}\pi$ . 利用适当的性质 (参见第 2.6), calculate

(a) $\sin \frac{2}{3}\pi$ (b) $\tan \frac{7}{6}\pi$ (c) $\cos \frac{11}{6}\pi$

(d) $\sin \frac{5}{12}\pi$ (e) $\cos \frac{7}{12}\pi$ (f) $\tan \frac{11}{12}\pi$

59 Given $s = \sin \theta$ , where $\frac{1}{2}\pi < \theta < \pi$ , find, 用……（来表示）；依据；就……而言 $s$ ,

(a) $\cos \theta$ (b) $\sin 2\theta$

(c) $\sin 3\theta$ (d) $\sin \frac{1}{2}\theta$

60 证明

$$\frac{1 + \sin 2\theta + \cos 2\theta}{1 + \sin 2\theta - \cos 2\theta} = \cot \theta$$ 61 Given $t = \tan \frac{1}{2}x$ , 证明：

(a) $\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}$

(b) $\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$

(c) $\tan x = \frac{2t}{1 - t^2}$

因此求解方程

$$2 \sin x - \cos x = 1$$ 62 在下列各题中