2.6.7 反三角（三角）函数

考虑三角函数的反函数，根据 (2.4) 中给出的定义可知，反正弦函数 $\sin^{-1}x$ （有时也记作 $\arcsin x$ ）满足

若 $$y = \sin^{-1}x$$ 则 $x = \sin y$

这里 $x$ 不应被解释为一个角度——而是 $\sin^{-1}x$ 表示正弦值为 $x$ 的那个角。应用前面给出的求反函数图像的方法（见 2.2.3 节）于 $y = \sin x$ 的图像（图 2.55），得到图 2.73(a) 所示的图像。正如我们在例 2.8 中所解释的，在考虑 $y = x^2$ 的反函数时，图 2.73(a) 的图像并不代表一个函数，因为对于每一个 $x$ 在定义域内 $-1 \leq x \leq 1$ 有无穷多个像值（如虚线与图像的交点所示）。为了解决这个问题，我们将反函数的值域限制为 $\sin^{-1}x$ 并据此定义反正弦函数为 $-\frac{1}{2}\pi \leq \sin^{-1}x \leq \frac{1}{2}\pi$ 相应的图像如图 2.73(b) 所示。

类似地，为了定义反余弦函数和反正切函数

$$\text{if } y = \sin^{-1}x \text{ then } x = \sin y, \text{ where } -\frac{1}{2}\pi \leq y \leq \frac{1}{2}\pi \text{ and } -1 \leq x \leq 1 \quad (2.31)$$

和 $\cos^{-1} x$ （有时也记作 $\tan^{-1} x$ 和 $\arccos x$ ），我们必须限制其值域。具体做法依据以下定义： $\arctan x$ 若

$$\text{if } y = \cos^{-1} x \text{ then } x = \cos y, \text{ where } 0 \leq y \leq \pi \text{ and } -1 \leq x \leq 1 \quad (2.32)$$

如果 $$y = \tan^{-1}x$$ 则 $x = \tan y$ ，其中 $-\frac{1}{2}\pi < y < \frac{1}{2}\pi$ 和 $x$ 是任意实数

(a)

(b)

图 2.73
图像为 $\sin^{-1}x$ .