由此可得

$$(T_0 - 2T_1 + T_2)\alpha = T_0T_2 - T_1^2$$

因此得到该结果。

2.7.2 对数函数

从 $y = e^x$ 的图像（如图 2.83 所示）可以清楚地看出，它是一个一一对应的函数，因此其反函数是有定义的。这个反函数称为自然对数函数，记作

$$y = \ln x$$

（在某些教科书中它写作 $\log_e x$ ，而在许多纯数学书籍中它被简单地写作 $\log x$ 。）使用前面给出的方法（见 2.2.3 节），可以画出它的图像，如图 2.85 所示。根据定义，我们有

若 $$y = e^x$$ 则 $x = \ln y$ (2.36)

这意味着

$$\ln e^x = x, \quad e^{\ln y} = y$$

正如存在许多指数函数一样 $(2^x, 3^x, 4^x, \dots)$ , 也有许多对数函数。一般地，

$$y = a^x \quad \text{gives} \quad x = \log_a y \quad (2.37)$$

可以用文字表述为“ $x$ 等于以 $a$ 为底 $y$ 的对数”。（注意， $\log_{10^x}$ 通常简写为 $\log x$ ，但在高等数学书籍中除外。）回忆一下， $a^x = e^{kx}$ 对于某个常数 $k$ ，我们现在看到 $a^x = (e^k)^x$ ，因此 $a = e^k$ 和 $k = \ln a$ 。

根据 $\log_a x$ 的定义可得

图 2.85
函数图像 $y = \ln x$ .