的图像 $Q(t)$ 如图 2.84 所示。从图像中可以估计，达到数值 375 所需的时间 $Q(t)$ 约为 234 秒。由公式可得 $Q(234) = 376.1$ 。利用计算器研究 $t = 234$ 附近的取值，可得到更精确的时间 231 秒。

例 2.56 物体在环境（其未知环境温度为 $T$ ）中冷却时的温度 $\alpha$ 由下式给出

$$T(t) = \alpha + (T_0 - \alpha)e^{-kt}$$

其中 $T_0$ 是物体的初始温度， $k$ 是一个物理常数。为了确定 $\alpha$ , 在两个时刻记录物体的温度， $t_1$ 以及 $t_2$ ，其中 $t_2 = 2t_1$ 和 $T(t_1) = T_1$ , $T(t_2) = T_2$ 。证明

$$\alpha = \frac{T_0 T_2 - T_1^2}{T_2 - 2T_1 + T_0}$$

解答 根据以下公式 $T(t)$ 我们有

$$T_1 - \alpha = (T_0 - \alpha)e^{-kt_1}$$

和

$$T_2 - \alpha = (T_0 - \alpha)e^{-2kt_1}$$

将这两个方程中的第一个平方，然后除以第二个，得到

$$\frac{(T_1 - \alpha)^2}{T_2 - \alpha} = \frac{(T_0 - \alpha)^2 e^{-2kt_1}}{(T_0 - \alpha) e^{-2kt_1}}$$

这化简为

$$(T_1 - \alpha)^2 = (T_2 - \alpha)(T_0 - \alpha)$$

$$T_1^2 - 2\alpha T_1 + \alpha^2 = T_0 T_2 - (T_0 + T_2)\alpha + \alpha^2$$

图 2.84 时间线 $Q(t)$ . $Q(t)$