尽管这些函数在工程分析中广泛出现，但它们最初是在计算数学中产生的。性质 (2.38a) 将两个数相乘的问题转化为将它们的对数相加的问题。科学计算器的普及使得对数的计算应用在很大程度上已不再重要。然而，它们仍被用于实验数据的分析。

在 MATLAB 中，指数函数和对数函数由以下命令表示：

指数函数： $\exp(x)$
自然对数 ln： $\log(x)$
以 10 为底的对数： $\log 10(x)$

命令 log2 (x) 也用于以 2 为底的对数。

2.7.3 练习

尽可能使用 MATLAB 检查你的答案。

72 化简

• (a) $(e^2)^3 + e^2 \cdot e^3 + (e^3)^2)^3$
• 2 (b) $e^{7x}/e^{3x}$
• (c) $(e^3)^2$
• 的图像 $y = e^{-2x}$ 和 $y = e^x$ 如图 2 所示。

73 绘制以下函数的图像 $y = e^{-2x}$ 和 $y = e^{-x^2}$ 在同一坐标轴上。注意 $(e^{-x})^2 \neq e^{-x^2}$ 。

74 不使用计算器求下列对数：

• (a) $\log_2 8$                      (b) $\log_2 \frac{1}{4}$
• (c) $\log_2 \frac{1}{\sqrt{2}}$      (d) $\log_3 81$
• (e) $\log_3 3$                      (f) $\log_4 0.5$
• (a) $\log_3 8$
  (f) $\log_4 0.5$

75 用 $\ln x$ 和 $\ln y$

• (a) $\ln(x^2y)$      (b) $\ln\sqrt{xy}$      (c) $\ln(x^5/y^2)$

表示

• (a) $\ln 14 - \ln 21 + \ln 6$
• (b) $4 \ln 2 - \frac{1}{2} \ln 25$

(c) $1.5 \ln 9 - 2 \ln 6$

(d) $2 \ln(2/3) - \ln(8/9)$

76 将其表示为单个对数 $\exp\left{\frac{1}{2} \ln\left[\frac{1-x}{1+x}\right]\right}$ (b) $e^{2 \ln x}$

77 化简 (a)

• (a) $y = 2^x$ ,    $y = \log_2 x$    78 仔细画出下列函数的图像
• (b) $y = e^x$ , $y = \ln x$ （在同一坐标轴上）
• (c) $y = 10^x$ , $y = \log x$ (在同一坐标轴上)

79 画出以下函数的图像： $y = e^{-x} - e^{-2x}$ 。证明 $y$ 的最大值为 $\frac{1}{4}$ ，并求出对应的 $x$ 的值。求出与 $x$ 对应的 $y = \frac{1}{40}$ 的两个值。

80 当

$$y = \frac{(x^2 + 1)^{3/2}}{(x^4 + 1)^{1/3}(x^4 + 4)^{1/5}}$$

时，尽可能化简 ln y。 $T(x)$ 2.7.4 双曲函数

在某些应用中，一些指数函数的组合会反复出现，这些组合被赋予了专门的名称。例如，直杆稳态传热的数学模型给出了距离一端为 $x$ 处温度的表达式，由下式给出：