$$T(x) = \frac{T_0(e^{m(l-x)} - e^{-m(l-x)}) + T_1(e^{mx} - e^{-mx})}{e^{ml} - e^{-ml}}$$

其中 l 是杆的总长度，T0 和 T1 是两端的温度，m 是一个物理常数。为了简化这类表达式，定义了一族称为双曲函数的函数，如下所示：

$$\cosh x = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x})$$ ，即双曲余弦

$$\sinh x = \frac{1}{2}(e^x - e^{-x})$$ ，即双曲正弦

$$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$$ ，即双曲正切

缩写 cosh 来自其最初的拉丁名称 cosinus hyperbolicus；sinh 和 tanh 同理。如果 $x$ 是实数，则整条曲线 $y = \cosh x$ 位于 $x$ 轴上方，因此 $\cosh x$ 永远不为零。

于是，T(x) 的表达式变为

$$T(x) = \frac{T_0 \sinh m(l - x) + T_1 \sinh mx}{\sinh ml}$$

这些函数名称的由来是几何上的。它们与双曲线的关系，正如三角函数（圆函数）与圆的关系一样，如图 2.86 所示。

仿照圆函数（即三角函数）的模式，其他双曲函数定义如下：

sech $$x = \frac{1}{\cosh x}$$ ，即双曲正割

$$\text{cosech } x = \frac{1}{\sinh x} \quad (x \neq 0)$$ , 双曲余割

$$\coth x = \frac{1}{\tanh x}$$ ( $x \neq 0$ )，双曲余切

sinh x、cosh x 和 tanh x 的图像如图 2.87 所示，其中黑色虚线表示渐近线。

(b)

(a)

图 2.86 圆函数与双曲函数之间的类比。圆的参数方程为 $x = \cos \theta$ , $y = \sin \theta$ 。双曲线的参数方程为 $x = \cosh t$ , $y = \sinh t$ .