图 2.103 中函数每相邻两个值之间。我们得到一个分段线性近似。）然而，这只是对该过程的定性描述，我们还需要定量描述。一般地，考虑函数 $f(x)$ 其取值为 $f_i = f(x_i)$ 其中 $x_i = x_0 + ih$ , $i = 0, 1, 2, \dots, n$ 。要计算非表格点处的值 $f(x)$ ，其中 $x = x_i + \theta h$ 和 $0 < \theta < 1$ ，使用线性插值，我们有

$$f(x) \approx f_i + \frac{x - x_i}{x_{i+1} - x_i} (f_{i+1} - f_i) \quad (2.49)$$

如图 2.103 所示。

公式 (2.49) 可以用多种不同方式书写，但它总是给出相同的数值结果。采用哪种形式取决于计算的具体情境。因此我们可以写成

$$f(x) \approx f_i + \theta(f_{i+1} - f_i), \quad \text{where } \theta = \frac{x - x_i}{x_{i+1} - x_i} \text{ and } 0 < \theta < 1 \quad (2.50)$$

或

$$f(x) \approx \frac{x - x_{i+1}}{x_i - x_{i+1}} f_i + \frac{x - x_i}{x_{i+1} - x_i} f_{i+1} \quad (\text{Lagrange's form}) \quad (2.51)$$

其差 $f_{i+1} - f_i$ 表中相邻值之间的差通常记作 $\Delta f_i$ ，因此 (2.49) 可改写为

$$f(x) \approx f_i + \theta \Delta f_i$$

例 2.66

使用线性插值和图 2.101 中的数据来估计下列数值：

(a) $e^{-x}$ 其中 $x = 0.235$ (b) $x$ 其中 $e^{-x} = 0.7107$

解

(a) 从图 2.101 的数值表中可以看到 $x = 0.235$ 介于表中的点 $x = 0.20$ 和 $x = 0.25$ 之间。将公式 (2.49) 应用于 $x_i = 0.20$ , $x_{i+1} = 0.25$ , $f_i = 0.8187$ 和 $f_{i+1} = 0.7788$ 我们有

$$f(0.235) \approx 0.8187 + \frac{0.235 - 0.20}{0.25 - 0.20} (0.7788 - 0.8187) = 0.7868$$

(b) 从数值表中我们看到 $e^{-x} = 0.7107$ 出现在 $x = 0.30$ 和 $x = 0.35$ 之间。因此，利用公式 (2.49)， $x$ 的值由下式给出

$$0.7107 \approx 0.7408 + \frac{x - 0.30}{0.35 - 0.30} (0.7047 - 0.7408)$$

于是

$$x \approx \frac{0.7107 - 0.7408}{0.7047 - 0.7408} (0.35 - 0.30) + 0.30 = 0.3417$$