要求在给定 $x$ 的值处求函数值时，我们在数值表内进行线性插值，从而得到 $y$ 的值。例如， $x = 0.322$ 给出

$$\begin{aligned} y &\approx 0.7408 + \frac{0.322 - 0.30}{0.35 - 0.30}(0.7047 - 0.7408) \ &= 0.7408 + (0.44)(-0.0361) = 0.7480 - 0.015884 \ &= 0.7249 \end{aligned}$$

表示该函数的另一种方法是使用近似式

$$e^{-x} \approx \frac{x^2 - 6x + 12}{x^2 + 6x + 12}$$

它将在后面的例 7.38 中得到。令 $x = 0.322$ 给出

$$y \approx \frac{(0.322 - 6)0.322 + 12}{(0.322 + 6)0.322 + 12} = \frac{10.171\ 684}{14.035\ 684} \ = 0.7240 \dots$$

问题仍然在于这些函数表示的精确程度如何。图形表示法本身隐含着一个误差界限。当我们读图时，会对答案中有效数字的位数作出判断。而在另外两种方法中，评估误差更为困难——但也更为重要，因为很容易写出超出合理依据的位数。答案究竟精确到一位小数还是两位小数，或者多少位？我们现在讨论表格表示法的精度，而将代数近似情形留到以后讨论（见第 7.11 节）。

2.9.1 表格函数与插值

为了估计从如上所述的数值表求函数值时涉及的误差，我们需要更仔细地考察其中所涉及的过程。该过程本质上假设函数在表格各点之间的表现如同一条直线，如图 2.102 所示。因此这种方法被称为线性插值。所涉及的误差取决于线性函数在表格各点之间对该函数的逼近程度，而这又取决于表格各点之间的接近程度。

如果表格各点之间的距离 $h$ 足够小，那么数学应用中产生的大多数函数在局部都表现得像线性函数；也就是说，用线性函数逼近表格各点之间的函数所产生的误差小于舍入误差。（注意，我们必须使用不同的线性函数

图 2.102
线性插值
用于 $e^{-x}$
( $0.30 < x < 0.35$ ).)