线性插值的误差

我们可以用这个来估计函数线性插值的误差。如果

$$f(x) \approx f_i + \theta \Delta f_i + \frac{1}{2} \theta (\theta - 1) \Delta^2 f_i$$

在区间内 $[x_i, x_{i+1}]$ 那么使用线性插值的误差

$$f(x) \approx f_i + \theta \Delta f_i$$

将近似为 $\frac{1}{2}\theta(\theta - 1)\Delta^2f_i$ ，线性近似误差界的估计由下式给出

$$\max_{0 \leq \theta \leq 1} \left[ \left| \frac{1}{2} \theta(\theta - 1) \Delta^2 f_i \right| \right]$$

现在 $\theta(\theta - 1) = (\theta - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$ ，因此 $\max_{0 \leq \theta \leq 1} |\theta(\theta - 1)| = \frac{1}{4}$ ，我们对误差界的估计为

$$\frac{1}{8} |\Delta^2 f_i|$$

为了进行精确的线性插值，我们要求这个误差界小于一个舍入误差。也就是说，它必须小于 $\frac{1}{2}$ 最低有效位上的一个单位。这意味着

$$\frac{1}{8}|\Delta^2 f_i| < \frac{1}{2} \text{ unit of least significant figure}$$

给出条件

$$|\Delta^2 f_i| < 4$$ 最低有效位的单位

以使线性插值得到的答案与原表中的答案一样精确。

因此，根据图 2.101 所示的函数值表，我们可以构造出图 2.104 所示的表。最后一行显示了每个区间内线性插值所产生的最大误差估计值 $e^{-x}$ 。为了完成该表并给出区间 $[x_i, x_{i+1}]$ 和 $[0.00, 0.05]$ 的误差估计，我们需要 $[0.45, 0.50]$ 在 $e^{-x}$ 和 $x = -0.05$ 处的值。根据图 2.103 中已有的信息，我们可以说，使用该表中的十一个 $0.55$ 值进行线性插值时，可能出现的最大误差约为小数点后第四位的 3 个单位。因此，所得数值可以放心地保留到小数点后 3 位。 $e^{-x}$

临界值表

普通数值表使用等间距的自变量取值，并列出因变量（函数值）的对应值。

图 2.104 数值表 $e^{-x}$ ，并附有线性插值的误差估计。