2.9.2 习题

99 对函数制表 $f(x) = \sin x$ 当 $x = 0.0(0.2)1.6$ 。根据该表，用线性插值估计 $\sin 1.23$ 的值。构造一个与图 2.102 等价的表，从而估计你所得到的 $\sin 1.23$ 值的误差。用袖珍计算器求出 $\sin 1.23$ 的一个值，并将其与你的估计值进行比较。

100 对函数制表 $f(x) = x^3$ 当 $x = 4.8(0.1)5.6$ 。构造一个与图 2.102 等价的表，从而估计在范围 $[5.0, 5.4]$ 内使用线性插值时你的数值表所产生的最大误差。对 $x = 4.8(0.2)5.6$ 构造一个类似的表（即制表间隔加倍的线性插值），并估计在该范围内由该表进行线性插值所产生的最大误差 $[5.0, 5.4]$ . 你认为对为 $x = 4.8(0.05)5.6$ 所构成的类似表格进行插值时，最大误差可能是多少？你认为需要多大的编表间隔才能使线性插值的精度达到 $3dp$ ？

101 函数 $f(x)$ 按如下不等间隔列表：

使用线性插值估计 $f(17)$ , $f(16.34)$ 和 $f^{-1}(0.3)$ 。

102 用二次插值（拉格朗日公式，(2.11)）评估第 96 题所得答案的精度。

103 证明三次插值的拉格朗日插值公式（见 2.4 节）为

$$\begin{aligned} f(x) &= \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)} f_0 \ &\quad + \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)} f_1 \ &\quad + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)} f_2 \ &\quad + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)} f_3 \end{aligned}$$

利用该公式求一个三次多项式，使其拟合下表给出的函数 $f$ ：

画出该三次多项式在 $-1 < x < 8$ 上的图像，并与 $y = x^{1/3}$ 。

为

$$y = \sqrt[3]{x}$$ 构造一个临界表 $y = 14.50(0.01)14.55$ 。

104 为 $$y = \sqrt[3]{x}$$

构造一个临界表 $y = 14.50(0.01)14.55$ 。

临界表给出函数在等间距（通常为末位小数的一个单位）处的值，然后列出使自变量取每个值的区间界限。例如， $\cos x^\circ = 0.999$ 对应于 $1.82 \leq x < 3.14$ ， $\cos x^\circ = 0.998$ 对应于 $3.14 \leq x < 4.06$ ，依此类推。这样我们便得到如图 2.105 所示的数值表。如果自变量的值落在两个表列值之间，则因变量的值就是印在这两个值之间的那个值。于是 $\cos 2.62^\circ = 0.999$ 。临界表的优点是：不需要插值，给出的答案总是精确到末位小数的半个单位以内，并且占用空间更少。

图 2.105
一个关键表格
对于 $\cos x^\circ$ .