任意角 $0^\circ < \theta^\circ < 360^\circ$ 都可以表示为如下形式

$$\theta = \sum_{i=0}^{\infty} n_i \phi_i$$

其中 $\tan \phi_i^\circ = 10^{-i}$ 且 $n_i$ 为非负整数。请将 $\theta = 56.5$ 表示成这种形式，并利用上面的递推关系计算 $\sin \theta^\circ$ 和 $\cos \theta^\circ$ ，精确到小数点后 5 位。（这种计算三角函数的方法被用于某些计算器中。）

19 一个机构由三根杆 AB、BC 和 CD 连接而成，如图 2.112 所示，其中 AB = CD（设为 a），BC = AD = a√2，M 为中点。各杆在 B 和 C 处自由铰接，并可绕 A 和 D 自由转动。采用极坐标，其极点 O 位于 AD 的中点，初始线为 OD，证明当 CD 绕 D 转动时 M 所描出的曲线

为 $r^2 = a^2 \cos 2\theta$ 。请仔细绘出这条曲线，即伯努利双纽线。

证明

• （a）M 的直角坐标满足

  $$(x^2 + y^2)^2 = a^2(x^2 - y^2)$$

• (b) $\text{AM} \times \text{DM} = \frac{1}{2}a^2$ 。

20 证明方程

$$r = p/\sin(\theta - \alpha)$$

表示一条直线，该直线与 $x$ 轴的夹角为 $\alpha$ ，且它到原点的垂直距离为 $p$ 。

21 利用第 20 题的结果，求经过点 (1, 2) 和 (3, 3) 的直线的极坐标表示。

22 证明方程

$$r = ep/(1 + e \cos \theta)$$

其中 $e$ 和 $p$ 为常数，当 $0 < e < 1$ 时表示椭圆，当 $e = 1$ 时表示抛物线，当 $e > 1$ , 其中坐标系 b 的原点位于相应圆锥曲线的一个焦点上。

23 继续习题 2.6.2 的第 54 题，证明

$$\cot \theta = \frac{12 + d^2}{4d}$$

并对

$$\frac{3}{d} + \frac{d}{4}$$

应用算术–几何不等式， $\frac{3}{d} + \frac{d}{4}$ 推出 $\theta^\circ$ 在 $d = 2\sqrt{3}$ .

处取得其最大值。图 2.112