9 求……的部分分式

$$(a) \quad \frac{x+2}{(x-1)(x-4)} \quad (b) \quad \frac{x}{(x+4)}$$

$$(b) \quad \frac{x^2 + 4}{(x + 1)(x - 3)}$$

(c) $$\frac{x^2 - 2x + 3}{(x + 2)^2(x - 1)}$$

(d) $$\frac{x(2x - 1)}{(x^2 - x + 1)(x + 3)}$$

10 将其表示为正弦和/或余弦的乘积

(a) $$\sin 2\theta - \sin \theta$$      (b) $\cos 2\theta + \cos 3\theta$

(b) $$\cos 2\theta + \cos 3\theta$$

(c) $$\sin 4\theta - \sin 7\theta$$

• 11 将其表示为如下形式 $r \sin(\theta - \alpha)$
• (c) $\sin 4\theta - \sin 7\theta$ 将其表示为如下形式 (a) $4 \sin \theta - 2 \cos \theta$ (c) $\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta$ (a) 根据定义

(a) $$4 \sin \theta - 2 \cos \theta$$      (b) $\sin \theta + 8 \cos \theta$

(c) $$\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta$$

12 (a) 根据双曲正弦函数的定义证明

$$\sinh 3x = 3 \sinh x + 4 \sinh^3 x$$

函数证明 $\sinh 3x = 3 \sinh x + 4 \sinh^3 x$

(b) 画出……的图像 $y = x^3 + x$ 仔细作图，并证明对于每个……的值 $y$ 恰好存在一个……的值 $x$ . 设定 $z = \frac{1}{2}x\sqrt{3}$ ，证明

$$4z^3 + 3z = \frac{3\sqrt{3}}{2}y$$ $$4z^3 + 3z = \frac{3\sqrt{3}}{2}y$$

并利用 (a)，推出

$$x = \frac{2}{\sqrt{3}} \sinh \left[ \frac{1}{3} \sinh^{-1} \left( \frac{3\sqrt{3}}{2} y \right) \right]$$

13 沿工厂通道的三台机器生产的零件（在图 2.110 中显示为 $x$ 轴）需要被送到附近的工作台进行装配，然后再进行进一步加工。每次装配需要从每台机器各取一个零件。移动任何零件每米都有固定成本。证明：如果 $x$ 表示装配工作台的位置，则移动零件的成本 $C(x)$ （针对每个装配件）由下式给出

$$C(x) \propto d(x)$$

其中 $d(x) = |x + 3| + |x - 2| + |x - 4|$ 。

画出 $d(x)$ 的图像，并求出工作台的最佳位置。

14 画出下列函数的图像

画出以下函数的图像 $$(a) \ \left[ \frac{1}{2}x \right] - \frac{3}{2} \left[ \frac{1}{3}x \right]$$

$$(b) \ xH(x) - (x - 1)$$

(b) $$xH(x) = (x - 1)H(x - 1) + (x - 2)H(x (x - 2)$$

15 列出函数的取值表

$f(x) = x^2e^{-x}$ 对于 $x = -0.1(0.1)1.1$ 。确定对该函数在此表中进行线性插值所产生的最大误差，并据此估计 $f(x)$ 的值，将你的估计结果保留到适当的小数位数。

16 通过设 $f(0.83)$ ，求 $t = \tan \frac{1}{2}x$ 的最大值。

17 (a) 证明方程 $(\sin x)/(2 - \cos x)$ 的根 $x_0$ 是重根当且仅当

$$x^4 - px^3 + q = 0$$

(b) 矩形梁的刚度与其高度的三次方成正比。

$$4x_0 - 3p = 0$$

$h$ 以及直接与其宽度 $b$ 。求从直径为 $D$ 的圆木中可以切出的刚度最大的梁的截面。

18 从点 $(x_0, y_0) = (1, 0)$ 开始，按图 2.111 所示构造一系列直角三角形。证明各顶点的坐标满足递推关系

$$x_i = x_{i-1} - w_i y_{i-1}$$

$$y_i = w_i x_{i-1} + y_{i-1}$$

其中 $w_i = \tan \alpha_i^\circ$ , $x_0 = 1$ 和 $y_0 = 0$ .

图 2.110

图 2.111