3.1 引言

复数最早出现在十六世纪求解三次方程的过程中，所用方法被称为卡尔达诺解法（源自文艺复兴时期数学家吉罗拉莫·卡尔达诺（1501–1576））。该方法给出方程的解

$$x^3 + qx + r = 0$$

为

$$x = ^3\sqrt{-\frac{1}{2}r + \sqrt{\left(\frac{1}{4}r^2 + \frac{1}{27}q^3\right)}} + ^3\sqrt{-\frac{1}{2}r - \sqrt{\left(\frac{1}{4}r^2 + \frac{1}{27}q^3\right)}}$$

通过直接代入可以验证。当这个解意外地涉及负数的平方根时，带来了困难。例如，方程

$$x^3 - 15x - 4 = 0$$

已知有三个根。一个显然的根是 $x = 4$ ，但用公式求得的相应根却是

$$x = ^3\sqrt{2 + \sqrt{(-121)}} + ^3\sqrt{2 - \sqrt{(-121)}}$$

邦贝利在1572年的著作中指出

$$2 + \sqrt{(-121)} = [2 + \sqrt{(-1)}]^3$$

且

$$2 - \sqrt{(-121)} = [2 - \sqrt{(-1)}]^3$$

因此

$$x = [2 + \sqrt{(-1)}] + [2 - \sqrt{(-1)}] = 4$$

正如所料。由于

$$\sqrt{(-x)} = \sqrt{(-1)}\sqrt{x}$$

其中 $x$ 是一个正数，负数的平方根可以表示为一个数乘以 $\sqrt{(-1)}$ 。因此 $\sqrt{(-121)} = 11\sqrt{(-1)}$ , $\sqrt{(-4900)} = 70\sqrt{(-1)}$ 等等。由于引入了这个特殊的数 $\sqrt{(-1)}$ 简化了计算，它很快得到了数学家们的认可。将 $\sqrt{(-1)}$ 用字母 $j$ 表示，我们得到一般形式的数 $z$ 其中

$$z = x + jy$$

这里 $x$ 和 $y$ 是普通的实数，并遵循算术基本运算法则。（大多数数学和物理教材使用字母 $i$ 而不是 $j$ 。然而，我们将遵循标准工程惯例，使用 $j$ 。）数 $z$ 被称为复数。普通的算术运算过程仍然适用，只是变得稍微复杂一些。除了如上简化求根过程之外，引入 $j = \sqrt{(-1)}$ 还简化了方程理论，例如，二次方程

$$ax^2 + bx + c = 0$$

总是有两个根

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{(b^2 - 4ac)}}{2a}$$