当 $b^2 \geq 4ac$ 时，这些根为实数；当 $b^2 < 4ac$ 时为复数。因此，任何不可约二次多项式（见第 2.3.4 节）都可以分解为两个复数因式。于是 $x^2 + 2x + 5 = (x + 1 + j2)(x + 1 - j2)$ 。根据前面给出的多项式函数的性质 (ii)（见第 2.4.1 节）可以得出，任何次数为 $n$ 且具有实系数的多项式方程恰好有 $n$ 个根，这些根可以是实数或复数。这就是著名的代数基本定理，它对具有复系数的多项式方程同样成立。因此

$$x^7 - 7x^5 - 6x^4 + 4x^3 - 28x - 24 = 0$$

是一个七次方程，具有七个根

$$x = -1, -2, -3, -1 - j, -1 + j, 1 - j, 1 + j$$

正如经常出现的情况一样，起初作为数学上的好奇心，后来被证明具有相当重要的实际意义，复数在工程分析的许多方面都是极其宝贵的。本章稍后将讨论一个简单但重要的应用。

3.2 性质

为了表示一个复数 $z$ ，我们使用两个实数， $x$ 和 $y$ ，并写作

$$z = x + jy$$

要指定一个复数 $z$ ，我们使用两个实数， $x$ 和 $y$ ，并写作

$$z = x + jy$$ 其中 $j = \sqrt{(-1)}$ ，且 $x$ 被称为……的实部 $z$ 和 $y$ 它的虚部。这通常简写为

$$z = x + jy$$ ， 其中 $x = \text{Re}(z)$ 和 $y = \text{Im}(z)$

注意， $z$ 的虚部不包含 $j$ 。例如，如果 $z = 3 - j2$ 那么 $\text{Re}(z) = 3$ 且 $\text{Im}(z) = -2$ 。如果 $x = 0$ ，则该复数被称为纯虚数；而如果 $y = 0$ 据说它是纯实数。

3.2.1 阿尔冈图

在几何上，复数可以表示为平面上的点，类似于实数用直线上的点来表示的方式（见第 1.2.1 节）。数 $z = x + jy$ 由坐标为 $(x, y)$ 的点 P 表示，如图 3.1 所示。这样的图被称为阿尔冈图，最早由卡斯帕·韦塞尔（Caspar Wessel，1745–1818）使用，但以自学成才的业余数学家让-罗贝尔·阿尔冈（Jean-Robert Argand，1768–1822）的名字命名。 $x$ 轴被称为实轴，而 $y$ 轴被称为虚轴。

图 3.1
阿尔冈图：
$z = x + jy$ .