利用三角恒等式 (2.24a, c)，得到

$$z_1z_2 = r_1r_2[\cos(\theta_1 + \theta_2) + j\sin(\theta_1 + \theta_2)] \quad (3.4)$$

因此

$$|z_1z_2| = r_1r_2 = |z_1||z_2| \quad (3.5a)$$

以及

$$\arg(z_1z_2) = \theta_1 + \theta_2 = \arg z_1 + \arg z_2 \quad (3.5b)$$

在使用这些结果时，必须注意确保 $-\pi < \arg(z_1z_2) \leq \pi$ 。

例 3.12 若 $z_1 = -12 + j5$ 且 $z_2 = -4 + j3$ ，试用 (3.5a) 和 (3.5b) 确定 $|z_1z_2|$ 和 $\arg(z_1z_2)$ 。

解 $|z_1| = \sqrt{(144 + 25)} = \sqrt{(169)} = 13$
$\arg(z_1) = \pi - \tan^{-1}\frac{5}{12} = \pi - 0.395 = 2.747$

$$|z_1| = \sqrt{(144 + 25)} = \sqrt{(169)} = 13$$

$$\begin{aligned} |z_1| &= \sqrt{(144 + 25)} = \sqrt{(169)} = 13 \ \arg(z_1) &= \pi - \tan^{-1}\frac{5}{12} = \pi - 0.395 = 2.747 \ |z_2| &= \sqrt{(16 + 9)} = 5 \ \arg(z_2) &= \pi - \tan^{-1}\frac{3}{4} =$$

$$|z_2| = \sqrt{(16 + 9)} = 5$$

$$\arg(z_2) = \pi - \tan^{-1}\frac{3}{4} = 2.498$$

于是由 (3.4) 和 (3.5)

$$|z_1z_2| = |z_1| |z_2| = (13)(5) = 65$$

$$\arg(z_1z_2) = \arg z_1 + \arg z_2 = 2.747 + 2.498$$

$$= 5.245 \text{ (or } 300.51^\circ\text{)}$$

然而，这并不能表示 $\arg(z_1z_2)$ 在所定义的范围内 $-\pi < \arg \leq \pi$ 。因此

$$\arg(z_1z_2) = -2\pi + 5.245 = -1.038$$

用 j 相乘的几何表示

由于

$$z = r(\cos \theta + j \sin \theta) \quad \text{and} \quad j = 1(\cos \frac{1}{2}\pi + j \sin \frac{1}{2}\pi)$$

由 (3.4) 可得

$$j_Z = r[\cos(\theta + \frac{1}{2}\pi) + j\sin(\theta + \frac{1}{2}\pi)]$$

因此，将复数乘以 j 的效果是保持模不变，但使辐角增加 ^{1 2} ，如图 3.6 所示。这一性质在复数应用于交流电理论时十分重要。

图 3.6 z 与 jz 之间的关系。