例 3.11 将下列复数表示为极坐标形式。

(a) $$12 + j5$$      (b) $-3 + j4$      (c) $-4 - j3$

解 (a) 在阿甘德图（Argand 图）上标出 $12 + j5$ 的位置的草图如图 3.5(a) 所示。因此

|12 + j5| = \sqrt{(144 + 25)} = 13 $$\arg(12 + j5) = \tan^{-1}\frac{5}{12} = 0.395$$

因此极坐标形式为

$$12 + j5 = 13[\cos(0.395) + j\sin(0.395)]$$

$12 + j5 = 13[\cos(0.395) + j\sin(0.395)]$

(b) 在阿甘德图上标出 $-3 + j4$ 的位置的草图如图 3.5(b) 所示。因此

$$|-3 + j4| = \sqrt{(9 + 16)} = 5$$

$$\arg(-3 + j4) = \pi - \tan^{-1}\frac{4}{3} = \pi - 0.927 $$|-3 + j4| = \sqrt{9 + 16} = 5$$

$$\begin{aligned} \arg(-3 + j4) &= \pi - \tan^{-1}\frac{4}{3} = \pi - 0.9273 \ &= 2.214 \end{aligned}$$

Thus in polar form

$$-3 + j4 = 5[\cos(2.214) + j\sin(2.214)]$$

$$\begin{aligned} -3 + j4 &= 5[\cos(2.214) + j\sin(2.214)] \ (c) \text{ 在阿甘德图上标出 } -4 - j3 \text{ 的位置的草图如图 3.5(c) 所示。因此} \ |-4 - j3| &= \sqrt{(16 + 9)} = 5 \ \arg(-4 - j3) &= -(\pi - $$|-4 - j3| = \sqrt{(16 + 9)} = 5$$

$$\begin{aligned} \arg(-4 - j3) &= -(\pi - \tan^{-1}\frac{3}{4}) = -(\pi - 0.643) \ &= -2.498 \end{aligned}$$

因此用极坐标形式表示

$$\begin{aligned} -4 - j3 &= 5[\cos(-2.498) + j\sin(-2.498)] \ &= 5[\cos(2.498) - j\sin(2.498)] \end{aligned}$$

利用上述结果 $\cos(-t) = \cos t$ 和 $\sin(-t) = -\sin t$ 。

注：直角坐标到极坐标的转换可以使用计算器完成，鼓励学生用这种方法检验答案。

极坐标形式下的乘法

设

$$z_1 = r_1(\cos \theta_1 + j \sin \theta_1) \quad \text{and} \quad z_2 = r_2(\cos \theta_2 + j \sin \theta_2)$$

则

$$z_1z_2 = r_1r_2(\cos \theta_1 + j \sin \theta_1)(\cos \theta_2 + j \sin \theta_2)$$

$$= r_1 r_2 [(\cos \theta_1 \cos \theta_2 - \sin \theta_1 \sin \theta_2) + j(\sin \theta_1 \cos \theta_2 + \cos \theta_1 \sin \theta_2)]$$

(a)

(b)

(c)

图 3.5$$$$