3.2.7 欧拉公式

在第 2.7.4 节中我们得到了结果

$$e^x = \cosh x + \sinh x$$

它将指数函数与双曲函数联系起来。一个类似但更为重要的公式将指数函数与三角函数联系起来。它是

$$e^{j\theta} = \cos \theta + j \sin \theta \quad (3.9)$$

这个公式被称为欧拉公式。这一定义的合理性基于以下事实。

根据指数函数的性质我们知道

$$e^{j\theta_1}e^{j\theta_2} = e^{j(\theta_1+\theta_2)}$$

用欧拉公式表示时，它变为

$$(\cos \theta_1 + j \sin \theta_1)(\cos \theta_2 + j \sin \theta_2) = \cos(\theta_1 + \theta_2) + j \sin(\theta_1 + \theta_2)$$

这正是 (3.4) 取 $r_1 = r_2 = 1$ 时的情形。

类似地

$$\frac{e^{j\theta_1}}{e^{j\theta_2}} = e^{j(\theta_1 - \theta_2)}$$

变为

$$\frac{\cos \theta_1 + j \sin \theta_1}{\cos \theta_2 + j \sin \theta_2} = \cos(\theta_1 - \theta_2) + j \sin(\theta_1 - \theta_2)$$

这正是 (3.6) 取 $r_1 = r_2 = 1$ 时的情形。

欧拉公式使我们能够非常简洁地写出复数 z 的极坐标形式：

$$z = r(\cos \theta + j\sin \theta) = re^{j\theta} = r \angle \theta \quad (3.10)$$

这被称为复数 z 的指数形式。

例 3.15 将以下复数表示为指数形式：

(a) $$2 + j3$$      (b) $-2 + j$

解答 (a) 阿尔冈图（复平面图）中所示位置的草图 $2 + j3$ 见图 3.7(a)。

$$|2 + j3| = \sqrt{(2^2 + 3^2)} = \sqrt{13}$$

$$\arg(2 + j3) = \tan^{-1}(3/2) = 0.9828$$ $$|2 + j3| = \sqrt{(2^2 + 3^2)} = \sqrt{13}$$

$$\arg(2 + j3) = \tan^{-1}(3/2) = 0.9828$$

(a) 阿尔冈图（复平面图）中所示位置的草图 $-2 + j$ 见图 3.7(a)。

$$|2 + j3| = \sqrt{(2^2 + 3^2)} = \sqrt{13}$$

$$\arg(2 + j3) = \tan^{-1}(3/2) = 0.9828$$ 因此 $2 + j3 = \sqrt{13}e^{j0.9828}$

(b) 一张草