也就是说，

$$z = \frac{-(2j - 3) \pm \sqrt{(-15 - j8)}}{2} \quad (3.19)$$

现在我们需要确定 $(-15 - j8)^{1/2}$ 所以我们首先将其表示为极坐标形式。由于

$$|-15 - j8| = \sqrt{[(15)^2 + (8)^2]} = 17$$

并且由图 3.10 可知

$$\begin{aligned} \arg(-15 - j8) &= -(\pi - \tan^{-1}\frac{8}{15}) \ &= -2.6516 \end{aligned}$$

我们有

$$-15 - j8 = 17[\cos(2.6516) - j\sin(2.6516)]$$

由 (3.17) 可得

$$\begin{aligned} (-15 - j8)^{1/2} &= (17)^{1/2} \left[ \cos\left(\frac{2.6516}{2} + \frac{2\pi k}{2}\right) - j \sin\left(\frac{2.6516}{2} + \frac{2\pi k}{2}\right) \right] \ &= (17)^{1/2} [\cos(1.3258 + \pi k) - j \sin(1.3258 + \pi k)], \quad k = 0, 1 \end{aligned}$$

于是我们得到两个平方根

$$(-15 - j8)^{1/2} = (17)^{1/2}[\cos(1.3258) - j \sin(1.3258)] = 1 - j4 \quad (\text{for } k = 0)$$

（读者应验证 $(1 - j4)^2 = -15 - j8$ ）

以及

$$(-15 - j8)^{1/2} = (17)^{1/2}[\cos(4.4674) - j\sin(4.4674)] = -1 + j4 \quad (\text{for } k = 1)$$

代回 (3.19) 可得该二次方程的根为

$$z = 2 - j3$$ 和 $1 + j$

3.3.2 三角函数的幂与倍角

欧拉公式可用于将 $\sin''\theta$ 和 $\cos''\theta$ 用倍角的正弦和余弦表示。如果 $z = \cos \theta + j \sin \theta$ 那么

$$z^n = \cos n\theta + j \sin n\theta$$

图 3.10
复数 $-15 - j8$ .