$$\begin{aligned} z^p &= (z^{1/n})^m \ &= \left{ r^{1/n} \left[ \cos\left(\frac{\theta}{n} + \frac{2\pi k}{n}\right) + j \sin\left(\frac{\theta}{n} + \frac{2\pi k}{n}\right) \right] \right}^m, \quad k = 0, 1, 2, \dots, (n-1) \ &= r^{m/n} \left[ \cos\left(\frac{m\theta}{n} + \frac{2\pi km}{n}\right) + j \sin\left(\frac{m\theta}{n} + \frac{2\pi km}{n}\right) \right] \ &= r^p [\cos(p\theta + 2\pi kp) + j \sin(p\theta + 2\pi kp)], \quad k = 0, 1, 2, \dots, (n-1) \end{aligned}$$

例 3.21求值 $(-\frac{1}{2} + j\frac{1}{2})^{-2/3}$ 并在阿甘德图（Argand 图）上显示这些根。

解由例 3.17，我们可以写出

$$-\frac{1}{2} + j\frac{1}{2} = 2^{-1/2}(\cos \frac{3}{4}\pi + j \sin \frac{3}{4}\pi)$$

得到

$$\begin{aligned} z^{-2/3} &= r^{-2/3} \left[ \cos\left(-\frac{2\theta}{3} - \frac{4\pi k}{3}\right) + j \sin\left(-\frac{2\theta}{3} - \frac{4\pi k}{3}\right) \right], \quad k = 0, 1, 2 \ &= 2^{1/3} [\cos(-\frac{1}{2}\pi - \frac{4}{3}\pi k) + j \sin(-\frac{1}{2}\pi - \frac{4}{3}\pi k)], \quad k = 0, 1, 2 \end{aligned}$$

于是我们得到三个值：

$$z^{-2/3} = 2^{1/3} [\cos(-\frac{1}{2}\pi) + j \sin(-\frac{1}{2}\pi)] \quad (\text{for } k = 0)$$

$$z^{-2/3} = 2^{1/3} (\cos \frac{1}{6}\pi + j \sin \frac{1}{6}\pi) \quad (\text{for } k = 1)$$

和

$$z^{-2/3} = 2^{1/3} (\cos \frac{5}{6}\pi + j \sin \frac{5}{6}\pi) \quad (\text{for } k = 2)$$

如图 3.9 所示。

图 3.9
例 3.21 的根在阿甘德
图上的
表示。

例 3.22解二次方程

$$z^2 + (2j - 3)z + (5 - j) = 0$$

解使用公式 (1.5)

$$z = \frac{-(2j - 3) \pm \sqrt{[(2j - 3)^2 - 4(5 - j)]}}{2}$$