令实部和虚部相等可得

$$\cos n\theta = c^n - \frac{n(n-1)}{2!}c^{n-2}s^2 + \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!}c^{n-4}s^4 + \dots$$

以及

$$\sin n\theta = nc^{n-1}s - \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}c^{n-3}s^3 + \dots$$

利用三角恒等式 $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ （于是 $c^2 = 1 - s^2$ ），我们看到

• (a) $\cos n\theta$ 可以用 $(\cos \theta)^n$ 展开，对任意 $n$ 或用 $(\sin \theta)^n$ 展开，若 $n$ 为偶数；
• (b) $\sin n\theta$ 可以用……展开为 $(\sin \theta)^n$ 如果 $n$ 是奇数。

例 3.24 将 $\cos 4\theta$ 展开为关于 $\cos \theta$ 的多项式。

解 由棣莫弗定理，

$$\begin{aligned} (\cos 4\theta + j \sin 4\theta) &= (\cos \theta + j \sin \theta)^4 = (c + js)^4 \ &= c^4 + j4c^3s + j^26c^2s^2 + j^34cs^3 + j^4s^4 \ &= c^4 + j4c^3s - 6c^2s^2 - j4cs^3 + s^4 \end{aligned}$$

比较实部，

$$\cos 4\theta = c^4 - 6c^2s^2 + s^4$$

利用 $s^2 = 1 - c^2$ 可得

$$\cos 4\theta = c^4 - 6c^2(1 - c^2) + (1 - c^2)^2 = 8c^4 - 8c^2 + 1$$

因此

$$\cos 4\theta = 8 \cos^4\theta - 8 \cos^2\theta + 1$$

注意，通过比较虚部，我们还可以得到关于 $\sin 4\theta$ .

在 MATLAB 中，乘方运算使用标准运算符 ^ 来实现。例如，考虑例 3.19，输入

(1 − i) ^12 返回结果 −64

与给定解答中所求一致。考虑例 3.20(a)，输入命令

$$z = -1/2 + (1/2)*i; \quad z1 = z^{\wedge}(1/2)$$

z1 = 0.3218 + 0.7769i