即对应于 $k = 0$ 的根。根据两根在圆上等距分布的知识，可以很容易地写出第二个根。

在例 3.22 中，可以使用 solve 命令以符号方式求得解。输入

syms z
solve(z^2 + (2*i - 3)*z + (5 - i))

返回答案

2 – 3*i 1 + i

与解答中给出的答案一致。

利用 expand 命令可以以符号方式展开为多倍角的正弦和余弦。例如，考虑例 3.24，命令

syms theta
expand(cos(4*theta))

返回答案

8*cos(theta)^4 – 8*cos(theta)^2 + 1

与给定解答中得到的答案一致。

• 34 用棣莫弗定理计算复数的三次幂和四次幂

• 请尽可能使用 MATLAB 检验你的答案。用棣莫弗定理计算复数的三次幂和四次幂

  (a) $1 + j$	(b) $\sqrt{3} - j$	(c) $-3 + j\sqrt{3}$
  (d) $1 - j\sqrt{3}$	(e) $-1 + j\sqrt{3}$	(f) $-1 - j\sqrt{3}$

• 用棣莫弗定理计算复数的三次幂和四次幂

  (a)	$1 + j$	(b)	$\sqrt{3} - j$	(c)	$-3 + j4$
  (d)	$1 - j\sqrt{3}$	(e)	$-1 + j\sqrt{3}$	(f)	$-1 - j\sqrt{3}$

  （这些数的模和辐角已在练习 3.2.5 的第 11 题中求得。）

（这些数的模和辐角已在练习 3.2.5 的第 11 题中求得。）

• 35 用多倍角展开

36 用 3.3.2 节的方法证明以下结果：

• (a) $\sin 3\theta = 3 \cos^2\theta \sin\theta - \sin^3\theta$
• $$(b) \quad \cos \theta = 128 \cos^8 \theta - 256 \cos^6 \theta + 160 \cos^4 \theta - 32 \cos^2 \theta + 1$$
• $$(c) \tan 5\theta = \frac{5 \tan \theta - 10 \tan^3 \theta + \tan^5 \theta}{1 - 10 \tan^2 \theta + 5 \tan^4 \theta}$$

37 求出 $(8 + j8)^{1/3}$ 的三个值，并在阿甘德图（Argand 图）上标出它们。

38 将以下复数写成极坐标形式：

• 将以下复数写成归一化形式：

  (a) $(\sqrt{3} - j)^{1/4}$	(b) $(j8)^{1/3}$
  (c) $(3 - j3)^{-2/3}$	(d) $(-1)^{1/2}$

• (c) $(3 - j3)^{-2/3}$      (d) $(-1)^{1/4}$

• (e) $(2 + j2)^{4/3}$      (f) $(5 - j3)^{-1/2}$

39 求方程的四个解 $z^4 = 3 - j4$

答案保留三位小数。

40 解二次方程

$$z^2 - (3 + j5)z + j8 - 5 = 0$$ 41 求以下各式的值 $z^{1/3}$ ，其中 $z = \cos 2\pi + j \sin 2\pi$ 。将其推广为 $1^{1/n}$ 的表达式。据此解方程

• $$(a) \left[ \frac{z - 2}{z + 2} \right]^5 = 1 \quad ( \quad )$$

• $$\begin{bmatrix} z - 2 \ z + 2 \end{bmatrix}^5 = 1 \quad (\text{Hint: First show that there are } \text{only four roots})$$

• (a) $\left[ \frac{z-2}{z+2} \right] = 1$ （提示： 首先证明只有四个根）

  (b) $(z-3)^6 - z^6 = 0$

3.3.3 习题

尽可能使用 MATLAB 验证你的答案。