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因此证明以下式子的三个根
$$x^3 + (-3yz)x + (y^3 + z^3) = 0$$
为
$$x = -(y + z), -(\omega y + \omega^2 z), -(\omega^2 y + \omega z)$$
利用此结果得到三次方程的卡尔达诺解
$$x^3 + qx + r = 0$$
形式为
−(u + v)
$$\begin{aligned} x^3 + qx + r &= 0 \ \text{in the form} \ -(u + v) \ \text{where } u^3 &= \frac{1}{2} r + \sqrt{[\frac{1}{4} r^2 + \frac{1}{27} q^2]} \ \text{and } v^3 &= \frac{1}{2} r - \sqrt{[\frac{1}{4} r^2 + \frac{$$
以及 $$v^3 = \frac{1}{2} r - \sqrt{[\frac{1}{4} r^2 + \frac{1}{27} q^3]}$$
形式为
$$-(u + v)$$ 其中 $u^3 = \frac{1}{2} r + \sqrt{[\frac{1}{4} r^2 + \frac{1}{27} q^3]}$
和 $v^3 = \frac{1}{2} r - \sqrt{[\frac{1}{4} r^2 + \frac{1}{27} q^3]}$
用 $u$ , $v$ 和表示其余两个根 $\omega$ 并求出条件 th28
28 在阿甘德图上，ABCD 是一个正方形，按逆时针方向标记字母。若点 A、B 分别表示 $3 + j2$ , $-1 + j4$ 证明 C 位于实轴上，并求出 D 所表示的数以及 AB 的长度。
29
29 若 $z_1 = 3 + j2$ 和 $z_2 = 1 + j$ ，且 O、P、Q、R 在阿甘德图上表示数 0、 $z_1$ , $z_1z_2$ , $z_1/z_2$ 证明 RP 平行于 OQ，且其长度为 OQ 的一半。
30
30 证明当 $z$ 描出圆 $z = be^{i\theta}$ , $u + jv = z + a^2/z$ 描出一个椭圆（ $a \neq b$ ）。当 $a = b$ 时，像轨迹是什么？
3131 证明函数
$$w = \frac{4}{z}$$
其中 $z = x +jy$ 以及 $w = u+jv$ ，将直线 $3x+4y=1$ 在 $z$ 平面内映射到 $w$ 平面内的一个圆，并求出该圆的半径和圆心。
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32 证明函数
$$w = (1 + j)z + 1$$
其中 $z = x + \text{j}y$ 以及 $w = u + \text{j}v$ ，将直线 $y = 2x - 1$ 在 $z$ 平面内映射到 $w$ 平面并求出它的方程。
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33 证明函数
$$w = \frac{z - 1}{z + 1}$$
其中 $z = x + jy$ 和 $w = u + jv$ ，将 $|z| = 3$ 平面上的圆 $z$ 映射为 $w$ 平面上的一个圆。
求出该圆在 $w$ 平面上的圆心和半径，并通过草图中的阴影标出 $w$ 平面上对应于圆 $|z| = 3$ 内部的区域。 $z$ 平面。
34
34 证明当 $\theta$ 变化时，点 $z = a(h + \cos \theta) + ja(k + \sin \theta)$ 描述一个圆。将儒可夫斯基变换 $u + jv = z + l^2/z$ 应用于该圆，在 $u-v$ 平面上生成一个翼型形状。证明该翼型的坐标可以写成如下形式
$$\frac{u}{a} = (h + \cos \theta)$$
$$\times \left( 1 + \frac{l^2}{a^2(1 + h^2 + k^2 + 2h \cos \theta + 2k \sin \theta)} \right)$$
$$\frac{v}{a} = (k + \sin \theta)$$
$$\times \left( 1 - \frac{l^2}{a^2(1+h^2+k^2+2h\cos\theta+2k\sin\theta)} \right)$$
取情形 $a = 1$ 和 $l^2 = 8$ ，描绘翼型，其中
(a) $h = k = 0$ ，并证明它是一个椭圆；
(b) $h = 0.04$ , $k = 0$ 并证明它是一个前后缘均为钝形的对称翼型；
(c) $h = 0, k = 0.1$ 并证明它是一个对称翼型（关于 $v$ 轴对称）且有弯度；
(d) $h = 0.04$ , $k = 0.1$ 并证明它是一个非对称翼型，具有弯度以及圆形的前缘和后缘。