求 $Z$ 当 $z = 0$ ，1 和 $j\Omega$ 并画出 $|Z|$ 和 $\arg Z$ 当 $z$ 沿正实轴从原点移动时的变化情况。

15 求

$$\frac{(3 + j4)^4(12 - j5)^2}{(3 - j4)^2(12 + j5)^3}$$

16 将其表示为 $a + jb$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 保留两位小数表示

• (a) $\sin(0.2 + j0.48)$      (b) $\cosh^{-1}(j2)$
• (c) $\cosh(3.8 - j5.2)$      (d) $\ln(2 + j)$
• (e) $\cos(\frac{1}{4}\pi - j)$

17 利用复数，证明

$$\begin{aligned} \sin^7\theta &= \frac{1}{64}(35 \sin\theta - 21 \sin 3\theta \ &\quad + 7 \sin 5\theta - \sin 7\theta) \end{aligned}$$

18 两个阻抗 $Z_1$ 和 $Z_0$ 由如下方程相联系

$$Z_1 = Z_0 \tanh(\alpha l + j\beta l)$$

其中 $\alpha$ , $\beta$ 和 $l$ 为实数。若 $\alpha l$ 非常小，以至于我们可以取 $\sinh \alpha l = \alpha l$ , $\cosh \alpha l = 1$ 和 $(\alpha l)^2$ 可忽略不计，证明

$$Z_1 = Z_0[\alpha l \sec^2\beta l + j \tan\beta l]$$

19 在传输线中，电压反射方程由下式给出

$$Ke^{j\theta} = \frac{Z - Z_0}{Z + Z_0}$$

其中 $K$ 是一个实常数， $Z = R + jX$ 且 $Z_0 = R_0 + jX_0$ 。求出 $\theta$ （即相位角）用 $R_0$ , $R$ , $X_0$ 和 $X$ 表示的表达式。进而证明，若 $Z_0$ 为纯电阻性的（即实数），则

$$\theta = \tan^{-1} \left[ \frac{2R_0 X}{R^2 + X^2 - R_0^2} \right]$$

假设 $R_0^2 < R^2 + X^2$ 。

20 电缆中的电压由下式给出

$$\cosh nx + \frac{Z_0}{Z_r} \sinh nx$$

将其化为以下形式并计算其值 $a + jb$ ，给出 $a$ 和 $b$ 精确到 2 位小数，当

$$nx = 0.40 + j0.93$$

$$Z_0 = 15 - j20 \quad Z_r = 3 + j4$$

21 将 $Z = \cosh(0.5 + j\frac{1}{4}\pi)$ 表示为以下形式

• (a) $x + jy$      (b) $re^{j\theta}$

电缆中的电流等于表达式 $e^{i0.7/Z}$ 的实部。计算该电流，答案精确到 3 位小数。

22 证明：如果电缆的传播常数由下式给出

$$X + jY = \sqrt{[(R + j\omega L)(G + j\omega C)]}$$ 其中 $R$ , $G$ , $\omega$ , $L$ 和 $C$ 为实数，则 $Y^2$ 的值为 $$X + jY = \sqrt{[(R + j\omega L)(G + j\omega C)]}$$

其中 $R$ , $G$ , $\omega$ , $L$ 和 $C$ 为实数，则 $X^2$ 的值为

$$X + jY = \sqrt{[(R + j\omega L)(G + j\omega C)]}$$

23 Givenen $Z = (1 + j)/(3 - j4)$ 求得

• $$\begin{aligned} X^2 &= \frac{1}{2} { \text{Gr} - \omega^2 LC + \sqrt{[0]} \ &\quad \times (G^2 + \omega^2 C^2) } } \end{aligned}$$ 已知 $Z = (1 + j)/(3 - j4)$ 求（a） $Z = (b) \sqrt{Z} = (c) e^{j2}$

  (d) $\ln Z = (e) \sin Z$

• (d) $\ln Z$                      (e) $\sin Z$

以如下形式表示 $a + jb$ , $a, b$ 为实数，给出 $a$ 和 $b$ ，精确到小数点后两位。

24 以指数形式求

$$\left[ \frac{7 + j24}{25} \right]^{1/4}$$

的四个值。将其中任意一个记为 $p$ ，证明其余三个由下式给出 $j^n p$ ( $n = 1, 2, 3$ ).

1. 25 求复数 $-1 + j\sqrt{3}$ 的六个根，形式为 $re^{j\theta}$ 其中 $-\pi < \theta \leq \pi$ ，并证明其中三个也是方程的解
2. 26 $\sqrt{2}Z^3 + 1 + j\sqrt{3} = 0$
3. 27 求……的实部

$$\sqrt{2Z^3 + 1 + j\sqrt{3} = 0$$

26 求……的实部

$$\frac{(R + j\omega L)/j\omega C}{j\omega L + R + 1/j\omega C}$$

并推导出若 $R^2$ 相对于 $(\omega L)^2$ 和 $(LC\omega^2)^2$ 相比可忽略不计，则实部近似为 $R(1 + 2LC\omega^2)$ 。

27 证明若 $\omega$ 是 1 的复立方根，则 $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ . 推导出

$$\begin{aligned} &(x + y + z)(x + \omega y + \omega^2 z)(x + \omega^2 y + \omega z) \ &= x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz \end{aligned}$$