4.1 引言

工程师和科学家的许多工作都涉及力。确保建筑物或桥梁的结构完整性，需要了解作用在系统上的力，并设计结构构件来承受这些力。许多人都见过塔科马大桥灾难的惊人照片（另见第10.10.3节），当时对作用在桥上的力的预测不准确。要分析这样的系统，需要运用牛顿定律，而矢量记号在这种情况下是必不可少的。同样，在往复式发动机中，会产生周期性的力，人们利用牛顿定律来设计曲轴，使侧向力降为零，从而最大限度地减少运动部件的磨损。力是三维量，是矢量最常见的例子之一。与这些力相关联的是加速度和速度，它们也可以用矢量来表示。随着问题变得复杂，特别是在三维情况下，使用正式的数学记号和规则变得越来越重要。力、速度和加速度都满足加法规则，这表明它们是矢量。在本章中，我们将建立一套处理矢量的代数理论，并看看它如何应用于一些简单的实际问题。

矢量作为形式化量背后的思想主要发展于十九世纪，并在二十世纪成为一种成熟的工具。矢量提供了一种方便而紧凑的方式来处理多维情况，而无需写下每一条信息。它们使学科的原理得以发展，而不会被复杂的记号所掩盖。

难以想象现代科学家和工程师没有计算机还能成功地工作。由于这种机器不能像工程师或科学家那样思考，因此必须以完全精确和正式的方式告诉它们要做什么。例如，机器人手臂需要获得如何定位自己以执行点焊的指令。三维矢量被证明是告诉计算机如何指定机器人手臂工件位置的完美方式，然后一组规则告诉机器人如何移动到其工作位置。

计算机赋予了工程师巨大的能力；五十年前被认为不可能解决的问题现在已是常规操作。借助数值算法，方程通常可以很快地求解。大型结构或飞机机翼的应力分析、轴和轴承的润滑、管道中污水的流动以及绕飞机机身的流动，都是在原理上早已被充分理解、但在必要的计算能力出现之前无法分析的系统示例。算法通常用矢量和矩阵来编写（见第5章），因为它们构成了工程问题数值求解的自然框架，并且对计算机而言也是理想的。在进行工程计算中使用的更复杂数学结构之前，理解矢量的运算是至关重要的。

计算机最具影响力的作用也许在于其图形功能，事实证明，这些功能在显示系统的静态和动态行为方面具有无可估量的价值。我们接受这一工具，而不去思考它是如何工作的。一个简单的例子就能说明其复杂性。当我们从给定角度观察一个顶部开口的盒子时，如何显示带有“隐藏”线的图形？这是一个复杂的三维问题，必须由计算机即时分析。矢量使我们能够定义可以投影到屏幕上的线，然后可以计算交点，从而确定“隐藏”的