然而，反过来， $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$ ，并不能推出 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 相互垂直。存在三种可能：

要么 $$a = 0$$    ，要么    $b = 0$    ，要么    $\theta = \frac{1}{2}\pi$

只有排除了前两种可能性之后，才能推出垂直关系。

最常见的错误是从

$$a \cdot b = a \cdot c$$

推出 $b = c$ 。这只是三种可能解之一——另外两种是 $a = 0$ 和 $a$ 垂直于 $b - c$ 。需要遵循的规则是不能像标量那样对向量进行消去。

由于单位向量 $i, j$ 和 $k$ 相互垂直，

$$i \cdot j = j \cdot k = k \cdot i = 0 \quad (4.4)$$

利用分配律对加法进行展开，并结合 (4.3) 和 (4.4)，我们得到

$$\begin{aligned} (a_1, a_2, a_3) \cdot (b_1, b_2, b_3) &= (a_1i + a_2j + a_3k) \cdot (b_1i + b_2j + b_3k) \ &= a_1b_1i \cdot i + a_1b_2i \cdot j + a_1b_3i \cdot k + a_2b_1j \cdot i + a_2b_2j \cdot j \ &\quad + a_2b_3j \cdot k + a_3b_1k \cdot i + a_3b_2k \cdot j + a_3b_3k \cdot k \ &= a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \end{aligned}$$

这与标量积的分量定义是一致的。

垂直是一个非常重要的概念，在数学和网络工程中都有广泛应用。压力作用在表面上，其方向垂直于该表面，因此单位面积上的力由 $p\hat{n}$ 给出，其中 $p$ 是压强， $\hat{n}$ 是单位法向量。要进行许多计算，我们必须能够找到一个垂直于另一个向量的向量。我们还将看到，许多矩阵方法都依赖于能够构造一组相互正交的向量。这样的构造不仅具有理论意义，而且构成了工程中许多实用数值方法的基础（参见配套教材 Advanced Modern Engineering Mathematics 第 6 章）。傅里叶级数（在第 12 章中讨论）的研究在信号处理中处于核心地位，并被电气工程师大量使用，其整体内容正是基于构造正交函数。

在 MATLAB 中，两个向量 a 和 b 的标量积由以下命令给出 dot(a,b)。

例 4.17 给定向量 $\mathbf{a} = (1, -1, 2)$ , $\mathbf{b} = (-2, 0, 2)$ 和 $\mathbf{c} = (3, 2, 1)$ ，求

• (a) $a \cdot c$ (b) $b \cdot c$ (c) $(a + b) \cdot c$
• (d) $a \cdot (2b + 3c)$      (e) $(a \cdot b)c$