(b) 结合律

结合律的概念涉及三个向量的乘积。由于 a · b 是标量，无法与第三个向量点乘，因此结合律的概念在此不适用，且 a · b · c 没有定义。

(c) 与标量相乘的分配律 l

$$a \cdot (\lambda b) = (\lambda a) \cdot b = \lambda (a \cdot b)$$

这些结果直接由分量定义 (4.2a) 得出。其含义是标量可以按通常方式展开相乘。

(d) 对加法的分配律

$$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$$

证明很简单，因为

$$\begin{aligned} \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) &= a_1(b_1 + c_1) + a_2(b_2 + c_2) + a_3(b_3 + c_3) \ &= (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) + (a_1c_1 + a_2c_2 + a_3c_3) \ &= \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} \end{aligned}$$

因此，通常的代数规则适用，括号可以按惯常方式展开相乘。

(e) a 的幂

需要注意的一个简单要点是

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = |\mathbf{a}| |\mathbf{a}| \cos 0 = |\mathbf{a}|^2$$

与第 4.2.5 节一致。该表达式写作 $\mathbf{a}^2 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a}$ 并且，在没有歧义的情况下， $\mathbf{a}^2 = \mathbf{a}^2$ 也被使用。不能构造向量的其他幂，因为如上面 (b) 所述，多于两个向量的标量积不存在。对于标准单位向量， $i, j$ 和 $k$ ,

$$i^2 = i \cdot i = 1, \quad j^2 = j \cdot j = 1, \quad k^2 = k \cdot k = 1 \quad (4.3)$$

(f) 垂直向量

由 (4.2b) 显然可知，若 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 垂直（正交），则 $\cos \theta = \cos \frac{1}{2}\pi = 0$ ，因此 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$ ，或用分量记号表示

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = 0$$