例 4.19 给定 $a = (1, 0, 1)$ 和 $b = (0, 1, 0)$ ，证明 $a \cdot b = 0$ ，并解释这个结果。

解答                      $$a \cdot b = (1, 0, 1) \cdot (0, 1, 0) = 0$$

由于 $|a| \neq 0$ 和 $|b| \neq 0$ ，这两个向量互相垂直。我们可以从几何上看出这个结果，因为 $a$ 位于 $x$ - $z$ 平面内，而 $b$ 平行于 $y$ 轴。

例 4.20 给定三个向量

$$a = (1, 1, 1)$$ ,   $b = (3, 2, -3)$   和   $c = (-1, 4, -1)$

。证明 $a \cdot b = a \cdot c$ 并解释该结果。

解 现在      $a \cdot b = 1 \times 3 + 1 \times 2 - 1 \times 3 = 2$

和 $$a \cdot c = 1 \times (-1) + 1 \times 4 + 1 \times (-1) = 2$$

，所以两个标量积显然相等。当然 $b \neq c$ 因为已知它们不相等，且 $a$ 非零，所以由

$$a \cdot (b - c) = 0$$

得出的结论是向量 $\mathbf{a}$ 和 $(\mathbf{b} - \mathbf{c}) = (4, -2, -2)$ 相互垂直。

例 4.21 在三角形 ABC 中，证明从各顶点向对边所作的垂线交于一点。

解 设垂线 AD 与 BE 交于点 O，如图 4.31 所示，并取 O 为原点。定义 $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ , $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$ 和 $\overrightarrow{OC} = \mathbf{c}$ 。则

AD 垂直于 BC 意味着 $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} - \mathbf{c}) = 0$

BE 垂直于 AC 意味着 $b \cdot (c - a) = 0$

因此，两式相加，得

$$a \cdot b - a \cdot c + b \cdot c - b \cdot a = 0$$

所以

$$b \cdot c - a \cdot c = c \cdot (b - a) = 0$$

这一结论意味着 $b - a$ 垂直于 $c$ 即 AB 垂直于 CF，正是所要证明的。情形 $b - a = 0$ 可以排除，因为此时三角形将退化。情形 $c = 0$ 意味着 C 位于 O 处；此时三角形是直角三角形，结论是平凡的。

例 4.22 求力 $\mathbf{F} = (3, -2, 5)$ 将质点从位置向量为 P 点移动到位置向量为 Q 点所做的功 $(1, 4, -1)$ 和 $(-2, 3, 1)$ 分别为。

图 4.31
三角形的三条高交于一点（例 4.21）。