注意后面这些方程的循环顺序。利用这些结果，我们可以得到矢量积的笛卡尔形式或分量形式。取

$$\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) = a_1\mathbf{i} + a_2\mathbf{j} + a_3\mathbf{k}$$

和

$$\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3) = b_1\mathbf{i} + b_2\mathbf{j} + b_3\mathbf{k}$$

然后，利用规则 (c)、(d) 和 (a)，

$$\begin{aligned} \mathbf{a} \times \mathbf{b} &= (a_1\mathbf{i} + a_2\mathbf{j} + a_3\mathbf{k}) \times (b_1\mathbf{i} + b_2\mathbf{j} + b_3\mathbf{k}) \ &= a_1b_1(\mathbf{i} \times \mathbf{i}) + a_1b_2(\mathbf{i} \times \mathbf{j}) + a_1b_3(\mathbf{i} \times \mathbf{k}) + a_2b_1(\mathbf{j} \times \mathbf{i}) + a_2b_2(\mathbf{j} \times \mathbf{j}) \ &\quad + a_2b_3(\mathbf{j} \times \mathbf{k}) + a_3b_1(\mathbf{k} \times \mathbf{i}) + a_3b_2(\mathbf{k} \times \mathbf{j}) + a_3b_3(\mathbf{k} \times \mathbf{k}) \ &= a_1b_2\mathbf{k} + a_1b_3(-\mathbf{j}) + a_2b_1(-\mathbf{k}) + a_2b_3\mathbf{i} + a_3b_1\mathbf{j} + a_3b_2(-\mathbf{i}) \end{aligned}$$

因此

$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} + (a_3b_1 - a_1b_3)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{1})\mathbf{k} \quad (4.9)$$

笛卡尔形式 (4.9) 用行列式形式（实际上是对行列式形式的一种公认的不规范用法）表示更容易记忆

$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \ b_2 & b_3 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} a_1 & a_3 \ b_1 & b_3 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \ b_1 & b_2 \end{vmatrix}$$

$$= (a_2 b_3 - b_2 a_3) \mathbf{i} - (a_1 b_3 - b_1 a_3) \mathbf{j} + (a_1 b_2 - b_1 a_2) \mathbf{k} \quad (4.10)$$

这种记法非常方便，因此我们在下一章正式介绍行列式之前就在这里使用它。

另一种计算叉积的方法也很容易记忆：将向量 (a, b, c) 和 (A, B, C) 各写两遍，然后按照图 4.39 所示的方式取乘积，读出各个分量。

图 4.39
给出三个分量为 $bC - cB$ , $cA - aC$ , $aB - bA$ 。

在 MATLAB 中，两个向量 a 和 b 的矢量积由命令 cross(a,b) 给出。

例 4.24 给定向量 $\mathbf{a} = (2, 1, 0)$ , $\mathbf{b} = (2, -1, 1)$ 和 $\mathbf{c} = (0, 1, 1)$ ，计算

(a) $$a \times b$$      (b) $(a \times b) \times c$      (c) $(a \cdot c)b - (b \cdot c)a$

(d) $$b \times c$$      (e) $a \times (b \times c)$      (f) $(a \cdot c)b - (a \cdot b)c$