使用向量积时需要注意的事项。例如，重要的是力的矩要按下式计算 $\mathbf{M} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$ 而不是 $\mathbf{F} \times \mathbf{r}$ .

（b）乘法不满足结合律

由于两个向量的向量积仍是一个向量，我们可以将其与第三个向量作向量积，从而检验结合律。结果发现它一般不成立，并且

$$a \times (b \times c) \neq (a \times b) \times c$$

除非在特殊情况下，例如当 $\mathbf{a} = 0$ 。通过利用定义（4.5）的几何考虑可以看出情况确实如此。向量 $\mathbf{b} \times \mathbf{c}$ 同时垂直于 $\mathbf{b}$ 和 $\mathbf{c}$ ，因而垂直于包含 $\mathbf{b}$ 和 $\mathbf{c}$ 的平面。此外，根据定义， $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ 垂直于 $\mathbf{b} \times \mathbf{c}$ ，因此位于……的平面内 $\mathbf{b}$ 和 $\mathbf{c}$ 。类似地， $(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c}$ 位于……的平面内 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 。因此，一般而言， $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ 和 $(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c}$ 是不同的向量。

由于结合律一般不成立，我们从不写 $a \times b \times c$ ，因为它是有歧义的。必须注意保持正确的顺序，因此当超过两个向量参与向量积运算时，必须插入括号。

(c) 对标量乘法的分配律

定义 (4.5) 显然表明

$$a \times (\lambda b) = \lambda(a \times b) = (\lambda a) \times b$$

并且通常的代数规则适用。

(d) 对加法的分配律

$$a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$$

该定律对向量积成立。可以用定义 (4.5) 通过几何方法证明。然而，该证明相当冗长，此处从略。

(e) 平行向量

从定义 (4.5) 显然可以看出，如果 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 平行或反平行，则 $\theta = 0$ 或 $\pi$ ，因此 $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = 0$ ，这包括以下情形 $\mathbf{a} \times \mathbf{a} = 0$ . 但我们注意到，如果 $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = 0$ 那么我们有三种可能的情况：要么 $\mathbf{a} = 0$ 要么 $\mathbf{b} = 0$ 要么 $\mathbf{a}$ 且 $\mathbf{b}$ 平行。与标量积一样，如果我们有 $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{a} \times \mathbf{c}$ 那么我们不能推出 $\mathbf{b} = \mathbf{c}$ 。我们首先必须证明 $\mathbf{a} \neq 0$ 并且 $\mathbf{a}$ 不与 $\mathbf{b} - \mathbf{c}$ .

(f) 笛卡尔形式

由定义 (4.5) 显然可得，平行于坐标轴的三个单位向量， $i, j$ 和 $k$ ，满足

$$i \times i = j \times j = k \times k = 0$$

$$i \times j = k, \quad j \times k = i, \quad k \times i = j \quad (4.8)$$