其模为

^{a × b =} Ë(100 + 81 + 49) ⁼ ˲³⁰

其模为

$$|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \sqrt{(100 + 81 + 49)} = \sqrt{230}$$ 因此，垂直于 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 所在平面的单位向量为 $(10/\sqrt{230}, 9/\sqrt{230}, 7/\sqrt{230})$ 。

例 4.26 求顶点位于 $P(1, 3, 2)$ , $Q(-2, 1, 3)$ 和 $R(3, -2, -1)$ 的三角形的面积。

解 我们在图 4.38 中已经看到，以 PQ 和 PR 为边构成的平行四边形的面积为 $|\vec{PQ} \times \vec{PR}|$ ，所以三角形 PQR 的面积为 $\frac{1}{2}|\vec{PQ} \times \vec{PR}|$ 。现在

$$\overline{PQ} = (-2 - 1, 1 - 3, 3 - 2) = (-3, -2, 1)$$

和

$$\vec{PR} = (3 - 1, -2 - 3, -1 - 2) = (2, -5, -3)$$

使得

$$\vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} i & j & k \ -3 & -2 & 1 \ 2 & -5 & -3 \end{vmatrix} = (11, -7, 19)$$

因此三角形 PQR 的面积为

$$\vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} -3 & -2 & 1 \ 2 & -5 & -3 \end{vmatrix} = (11, -7, 19)$$

例 4.27 对应于四面体的四个面构造四个向量。每个向量的大小等于相应面的面积，其方向为该面的外法线方向，如图 4.40 所示。证明这四个向量之和为零。

解 在图 4.40(a) 中设 $\vec{AB} = b$ , $\vec{AC} = c$ 和 $\vec{AD} = d$ 。三角形 ABD 的外法线方向平行于

$$\mathbf{n} = \overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AB} = \mathbf{d} \times \mathbf{b}$$

图 4.40
(a) 例 4.27 的四面体；
(b) 由 (a) 得到的三角形。